HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (2 điểm)
a. Với $x=36$(tmđk) thay vào $B$ ta được: $B=\dfrac{\sqrt{36}+2}{\sqrt{36}-2}=2$
b. Ta có: $A=\left( \dfrac{\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2} \right).\dfrac{x-4}{\sqrt{x}+2}$
$=\left( \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{x}+2}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)} \right).\dfrac{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\sqrt{x}+2}$
$=\dfrac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}$
c. Ta có: $C=B.\left( A-2 \right)=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\left( \dfrac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}-2 \right)=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\left( \dfrac{-2}{\sqrt{x}+2} \right)=\dfrac{-2}{\sqrt{x}-2}$
Để $C$ nhận giá trị nguyên thì $\sqrt{x}-2$ phải là ước của 2.
Do đó $\sqrt{x}-2$ nhận các giá trị là: $\left\{ \pm 1;\pm 2 \right\}$
Ta có bảng giá trị sau:
|
$\sqrt{x}-2$ |
-2 |
-1 |
1 |
2 |
|
$\sqrt{x}$ |
0 |
1 |
3 |
4 |
|
$x$ |
0 |
1 |
9 |
16 |
|
$C$ |
1 |
2 |
-2 |
-1 |
Vậy khi $x$ nhận các giá trị nguyên là $\left\{ 0;1;9;16 \right\}$ thì $C$ có giá trị nguyên.
Bài 2 :
1) Đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $A\left( 1;2 \right)$ khi và chỉ khi $x=1;y=2$ thỏa mãn công thức trên.
Hay $\left( 3m-2 \right).1+m-2=2\Leftrightarrow 3m-2+m-2=2\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}$
Với $m=\dfrac{3}{2}$ thì $y=\left( 3\cdot \dfrac{3}{2}-2 \right)x+\dfrac{3}{2}-2=\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{2}$
TXĐ: $\mathbb{R}$
Lập bảng:
|
$x$ |
$0$ |
$\dfrac{1}{5}$ |
|
$y=\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{2}$ |
$\dfrac{-1}{2}$ |
$0$ |
Hình Vẽ:
2)
Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $\text{Ox}$ tại $A$, cắt $Oy$ tại $B$ nên $3m-2\ne 0\Leftrightarrow m\ne \dfrac{2}{3}$.
Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $\text{Ox}$ tại $A$ $\Rightarrow A\left( \dfrac{2-m}{3m-2};0 \right)\Rightarrow OA=\left| \dfrac{2-m}{3m-2} \right|$.
Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $Oy$ tại $B$$\Rightarrow B\left( 0;m-2 \right)\Rightarrow OB=\left| m-2 \right|$
Diện tích $\Delta OAB$là: ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\cdot \left| \dfrac{2-m}{3m-2} \right|\cdot \left| m-2 \right|$
${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cdot \left| \dfrac{2-m}{3m-2} \right|\cdot \left| m-2 \right|=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( 2-m \right)}^{2}}}{\left| 3m-2 \right|}=1\Leftrightarrow {{\left( 2-m \right)}^{2}}=\left| 3m-2 \right|\left( 1 \right)$
*TH1: $3m-2>0\Leftrightarrow m>\frac{2}{3}$
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2 - m} \right)^2} = 3m - 2 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 = 3m - 2 \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m - 1 = 0\\
m - 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1(TM)\\
m = 6(TM)
\end{array} \right.
\end{array}$
*TH2: $3m-2<0\Leftrightarrow m<\frac{2}{3}$
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {2 - m} \right)^2} = 2 - 3m \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 = 2 - 3m \Leftrightarrow {m^2} - m + 2 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0
\end{array}$
$\Leftrightarrow {{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{-7}{4}$(vô lí vì ${{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0$ (với mọi $m$)
Vậy phương trình có 2 tập nghiệm là $S=\{1;6\}$
Bài 3. (2 điểm): Giải phương trình
a) $\sqrt{49-28x+4{{x}^{2}}}-5=0$
b) $\dfrac{1}{2}\sqrt{x-2}-4\sqrt{\dfrac{4x-8}{9}}+\sqrt{9x-18}-5=0$
Giải
a) $\sqrt {49 - 28x + 4{x^2}} - 5 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {7 - 2x} \right)}^2}} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left| {7 - 2x} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
7 - 2x = 5\\
7 - 2x = - 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 6
\end{array} \right.$
b) ĐK: $x\ge 2$
$\dfrac{1}{2}\sqrt{x-2}-4\sqrt{\dfrac{4x-8}{9}}+\sqrt{9x-18}-5=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{x-2}-4.\dfrac{2}{3}\sqrt{x-2}+3\sqrt{x-2}-5=0$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{8}{3}+3 \right)\sqrt{x-2}-5=0\Leftrightarrow \dfrac{5}{6}\sqrt{x-2}=5\Leftrightarrow \sqrt{x-2}=6\Leftrightarrow x-2=36\Leftrightarrow x=38\,\,(t/m)$.
Vậy phương trình có nghiệm $x=38$.
Bài 4 (3,5 điểm):
a) Ta có $AD//OM//BC$ (cùng vuông góc với $xy$, GT và tính chất của tiếp tuyến $xy$) mà $O$ là trung điểm của $AB$ nên $M$là trung điểm của $CD$ $\Rightarrow MC=MD$.
b) Vì $O$ là trung điểm của $AB$ và $M$ là trung điểm của $CD$ nên ta có $OM$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$$\Rightarrow OM=\dfrac{AD+BC}{2}\Rightarrow AD+BC=2OM$ không đổi khi $M$ di chuyển trên nửa đường tròn.
c) Đường tròn đường kính $CD$ có tâm là $M$ nên gọi là $(M)$
Ta có :
$AD\cap (M)=\left\{ D \right\};AD\bot MD\,(GT)$$\Rightarrow AD$ là tiếp tuyến của $(M)$
$BC\cap (M)=\left\{ C \right\};BC\bot MC\,(GT)$$\Rightarrow BC$ là tiếp tuyến của $(M)$
Kẻ $MI\bot AB$ tại $I$. Xét $\Delta MIB$ và $\Delta MCB$ có:
$MB$ là cạnh chung
$\widehat{MIB}=\widehat{MCB}\,(={{90}^{0}})$
$\widehat{CBM}=\widehat{OMB}$ (so le trong ,$OM//BC$); $\widehat{OMB}=\widehat{OBM}$($\Delta OBM$ cân tại $O$) $\Rightarrow \widehat{CBM}=\widehat{OBM}\,(=\widehat{OMB})$
$\Rightarrow \Delta MIB=\Delta MCB\,(ch-gn)$$\Rightarrow MI=MC$ mà $MC=MD$(ý a) $\Rightarrow MI=MC=MD=\dfrac{CD}{2}$$\Rightarrow I\in (M)$
$\Rightarrow AB\cap (M)=\left\{ I \right\};AB\bot MI\,$(cách vẽ điểm $I$)$\Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của $(M)$
d) Tứ giác $ABCD$ là hình thang vuông nên ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{(AD+BC).CD}{2}$
Vì $AD+BC$ có giá trị không đổi nên ${{S}_{ABCD}}$ lớn nhất khi $CD$ lớn nhất
Vì $CD\le AB$ (Quan hệ đường vuông góc đường xiên) nên $CD$ lớn nhất khi $CD=AB$, mà $CD$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $AD$ và $BC$ nên khi đó $ABCD$ là hình chữ nhật suy ra đường trung bình $OM$vuông góc với $AB$ $\Rightarrow M$ là điểm chính giữa của cung $AB$.
Vậy $M$ là điểm chính giữa của cung $AB$ thì diện tích tứ giác $ABCD$ lớn nhất.
Bài 5: Cho $x, y$ dương thỏa mãn $xy=1$ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$M=(x+y+1)({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+\dfrac{4}{x+y}$
Giải: ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2$
$\Rightarrow M=(x+y+1)({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+\dfrac{4}{x+y}\ge 2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}$
Ta có $x+y\ge 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y\ge 2\Leftrightarrow x+y+2\ge 4$
$(x+y)+\dfrac{4}{x+y}\ge 4$
$\Rightarrow 2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}\ge 8\Rightarrow M\ge 8$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M=9$ dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$
