Giải đề thi học kì 1 Q. Nam Từ Liêm năm 2018-2019

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1 $2điểm$

1. Rút gọn biểu thức

$a),sqrt{12}+3sqrt{48}-5sqrt{75}=2sqrt{3}+12sqrt{3}-25sqrt{3}=-11sqrt{3}$

$begin{array}{l}
b){mkern 1mu} {mkern 1mu} 5sqrt {frac{1}{5}}  – dfrac{8}{{1 + sqrt 5 }} + dfrac{{sqrt {20}  – 5}}{{2 – sqrt 5 }} = dfrac{{5sqrt 5 }}{5} – dfrac{{8left$1–sqrt5right$}}{{left$1–sqrt5right$left$1+sqrt5right$}} + dfrac{{2sqrt 5  – 5}}{{2 – sqrt 5 }}\
 = sqrt 5  – dfrac{{8left$1–sqrt5right$}}{{ – 4}} + dfrac{{sqrt 5 left$2–sqrt5right$}}{{2 – sqrt 5 }} = sqrt 5  + 2left$1–sqrt5right$ + sqrt 5 \
{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu}  = 2sqrt 5  + 2 – 2sqrt 5  = 2
end{array}$

2. Giải phương trình:

$a){mkern 1mu} {mkern 1mu} sqrt {9{x^2}}  = 6 Leftrightarrow 3left| x right| = 6 Leftrightarrow left| x right| = 2 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
x =  – 2
end{array} right.$

Vậy $xin left{ -2;2 right}$

$b)sqrt {4x – 20}  + sqrt {x – 5}  – frac{1}{3}sqrt {9x – 45}  = 4{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} $ ĐK: $x ge 5$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow 2sqrt {x – 5}  + sqrt {x – 5}  – sqrt {x – 5}  = 4 Leftrightarrow 2sqrt {x – 5}  = 4\
 Leftrightarrow sqrt {x – 5}  = 2 Leftrightarrow x – 5 = 4 Leftrightarrow x = 9left$TMright$
end{array}$

Vậy$x=9$ .

Bài II $2điểm$.

a) Rút gọn: ĐK: $xge 0;xne 1$

$begin{array}{l}
B = dfrac{1}{{sqrt x  – 1}} + dfrac{{sqrt x }}{{sqrt x  + 1}} + dfrac{{2sqrt x }}{{1 – x}}\
B = dfrac{1}{{sqrt x  – 1}} + dfrac{{sqrt x }}{{sqrt x  + 1}} – dfrac{{2sqrt x }}{{x – 1}}\
B = dfrac{1}{{sqrt x  – 1}} + dfrac{{sqrt x }}{{sqrt x  + 1}} – dfrac{{2sqrt x }}{{left$sqrtx–1right$left$sqrtx+1right$}}
end{array}$

$begin{array}{l}
B = dfrac{{sqrt x  + 1 + sqrt x left$sqrtx–1right$ – 2sqrt x }}{{left$sqrtx–1right$left$sqrtx+1right$}}\
B = dfrac{{x – 2sqrt x  + 1}}{{left$sqrtx–1right$left$sqrtx+1right$}}
end{array}$

$begin{array}{l}
B = dfrac{{{{left$sqrtx–1right$}^2}}}{{left$sqrtx–1right$left$sqrtx+1right$}}\
B = dfrac{{sqrt x  – 1}}{{sqrt x  + 1}}
end{array}$

b) $P=A:B=dfrac{sqrt{x}-1}{x+3}$ . ĐK: $xge 0;xne 1$

$P<0Leftrightarrow dfrac{sqrt{x}-1}{x+3}<0$

Mà $x+3ge 3>0$ $forall x$ tm ĐKXĐ

$begin{array}{l}
 Rightarrow sqrt x  – 1 < 0\
 Leftrightarrow sqrt x  < 1\
 Leftrightarrow 0 le x < 1
end{array}$

Kết  hợp ĐKXĐ: $xge 0;xne 1$

$Rightarrow 0le x<1$

Vậy $P<0$ khi $0le x<1$

c) $dfrac{1}{P}=dfrac{x+3}{sqrt{x}-1}=dfrac{x-1+1+3}{sqrt{x}-1}=sqrt{x}+1+dfrac{4}{sqrt{x}-1}=sqrt{x}-1+dfrac{4}{sqrt{x}-1}+2$

Có: $x>1Leftrightarrow sqrt{x}-1>0Leftrightarrow dfrac{4}{sqrt{x}-1}>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si với hai số $sqrt{x}-1>0{{;}_{{}}}dfrac{4}{sqrt{x}-1}>0$ có:

$begin{array}{l}
sqrt x  – 1 + dfrac{4}{{sqrt x  – 1}} ge 2.sqrt {left$sqrtx–1right$.dfrac{4}{{sqrt x  – 1}}} \
 Leftrightarrow sqrt x  – 1 + dfrac{4}{{sqrt x  – 1}} + 2 ge 4 + 2\
 Leftrightarrow dfrac{1}{P} ge 6
end{array}$

Dấu $”=”$ xảy ra

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow sqrt x  – 1 = dfrac{4}{{sqrt x  – 1}} Rightarrow {left$sqrtx–1right$^2} = 4\
 Leftrightarrow sqrt x  – 1 = {2_{}}left$d{o}_{}sqrtx–1>0right$ Leftrightarrow sqrt x  = 3 Leftrightarrow x = 9left$TMright$
end{array}$

Vậy GTNN của $dfrac{1}{P}$ là $6$ khi $x=9$

Bài III $2điểm$.

1. $left$d_{1}right$:y=-2x+3$ cho $x=0$ ⇒ $y=3$ ⇒ $left$d_{1}right$$ đi qua $left$0;3right$$

                                    $y=0$⇒ $x=dfrac{3}{2}$ ⇒ $left$d_{1}right$$ đi qua $left$dfrac32;0right$$

$left$d_{2}right$:y=dfrac{1}{2}x-2$  cho $x=0$ ⇒ $y=-2$ ⇒ $left$d_{2}right$$ đi qua $left$0;-2right$$

                                    $y=0$ ⇒ $x=4$ ⇒ $left$d_{2}right$$ đi qua $left$4;0right$$

2) Phương trình hoành độ giao điểm của $left$d_{1}right$$ và $left$d_{2}right$$ là:

$-2x+3=0,5x-2$ ⇔ $x=2$ ⇒ $y=-1$

Vậy tọa độ điểm $Cleft$2;-1right$$

3) Tọa độ điểm $Aleft$0;3right$$; $Bleft$0;-2right$$

$Rightarrow OA=3cm;OB=2cm;AB=OA+OB=5cm$

Kẻ $CHbot AB$. Vì $C$2;-1$Rightarrow CH=2cm$

${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}AB.CH$

Diện tích tam giác ABC là: $frac{1}{2}times 5times 2=5~left$c{m}^{2}right$$

Bài IV $3,5điểm$.

a)

Do $Delta MAB$ nội tiếp đường tròn$$O$$ có cạnh $AB$ là đường kính

$Rightarrow Delta MAB$ vuông tại $M$ $Rightarrow widehat{AMB}={{90}^{o}}$ hay $widehat{EMF}={{90}^{o}}$

+) Xét nửa đường tròn $$O$$có: $E$ là trung điểm của $MA$ $gt$

$Rightarrow OEbot MA$ $quanhệvuônggócđườngkínhvàdây$

$Rightarrow widehat{MEO}={{90}^{o}}$

+) Xét nửa đường tròn $$O$$ có: $F$  là trung điểm của $MB$$gt$

$Rightarrow OFbot MB$ $quanhệvuônggócđườngkínhvàdây$

$Rightarrow widehat{MFO}={{90}^{o}}$

+) Xét tứ giác $text{MEOF}$có: $widehat{EMF}=widehat{MEO}=widehat{MFO}={{90}^{o}},,$cmt$$

à Tứ giác $text{MEOF}$ là hình chữ nhật $dhnb$

b) Xét  $Delta ACO:$$OA=OMRightarrow Delta OMA$ là tam giác cân tại  $O$

         $OC$ là đường trung tuyến

  $Rightarrow $  OC là đường trung trực của MA $Rightarrow CA=CM$

+) Xét $Delta ACOAnd Delta MCO:$

$begin{array}{l}
OM = OA\
CM = CA.
end{array}$

$OC:$là cạnh chung

 $Rightarrow Delta ACO=Delta MCO,$c.c.c$$

Suy ra được $widehat{CAO}=widehat{CMO}={{90}^{o}}Rightarrow CAbot AB$

Mà A$in $ nửa $O;R$

Nên CA là tiếp tuyến của nửa $O:R$ hay CA tiếp xúc với đường tròn $O;R$

+) Xét $Delta AEO$ vuông tại E có $widehat{EAO}={{30}^{o}}Rightarrow widehat{EOA}={{60}^{o}}$

+) $tanwidehat{AOC}=dfrac{CA}{AO}Rightarrow CA=AO.tanwidehat{AOC}=3sqrt{3},,$cm$$

+) Vì F là trung điểm của MB $gt$, $OFbot MB$ $cmt$

$Rightarrow OD$ là đường trung trực của $MBRightarrow BD=MD$t/c$$

+) Chứng minh: $widehat{EOF}={{90}^{o}}$ hay $widehat{COD}={{90}^{o}}$

+) Xét $Delta COD$ vuông tại O $cmt$, đường cao OM có:

$Rightarrow O{{M}^{2}}=CM.MD$ $HTLtrongtamgiácvuông$

$Rightarrow CM.MD={{R}^{2}}$,

 Mà $CM=CA;MD=BD$ $cmt$ nên $CA.BD={{R}^{2}}$

+) Chứng minh: $Delta BDO=Delta MDO,,$c.c.c$Rightarrow widehat{DBO}=widehat{DMO}$

Mà $widehat{DMO}={{90}^{o}}Rightarrow widehat{DBO}={{90}^{o}}Rightarrow DBbot AB$

+) Ta có: $CAbot AB,,,DBbot AB,,$cmt$,,Rightarrow AC//BD$

à Tứ giác $ACDB$ là hình thang $Rightarrow {{S}_{ACDB}}=dfrac{1}{2}left$AC+BDright$.AB$

Áp dụng bđt Cô si, ta được:

$AC+BDge 2sqrt{AC.BD}=2sqrt{{{R}^{2}}}=2R$

$Rightarrow {{S}_{ACDB}}=dfrac{1}{2}left$AC+BDright$.ABge dfrac{1}{2}.2R.2R=2{{R}^{2}}$

Vậy ${{S}_{ACDB}}ge 2{{R}^{2}}$

d)

$Delta CEI$ và $Delta BFI$ có CE//BF $Rightarrow dfrac{CI}{IB}=dfrac{CE}{BF}$ $hệquảĐLTalét$ $1$

$Delta COD$ có ME//OD $Rightarrow dfrac{CE}{EO}=dfrac{CM}{MD}$ $ĐLTalét$ $2$

Mà EO = MF = BF $Rightarrow dfrac{CE}{BF}=dfrac{CE}{EO}$ $3$

Từ $1$ và $2$, $3$ $Rightarrow dfrac{CI}{IB}=dfrac{CM}{MD}$

$Rightarrow MI//BD$ $ĐLTalétđảo$ hay  MK // BD

$Rightarrow MKbot AB,,$do,BDbotAB$$

Xét $Delta MKA$ vuông tại K: có $KE$ là  đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $MA$

$Rightarrow KE=ME=dfrac{MA}{2}$

Chứng minh tương tự :  $KF=MF$

$Rightarrow EF$ là đường trung trực của MK.

Bài V $0,5điểm$.

Cách 1:

$begin{array}{l}
2M = 2sqrt 3 xy + 2{y^2}\
2M = {x^2} + 2sqrt 3 xy + 3{y^2} – {x^2} – {y^2}\
2M = {left$x+sqrt3yright$^2} – 1 ge  – 1\
M ge frac{{ – 1}}{2}
end{array}$

Vậy GTNN $M =  – frac{1}{2}$ dấu bằng xẩy ra khi $left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x =  – frac{{sqrt 3 }}{2}\
y = frac{1}{2}
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x = frac{{sqrt 3 }}{2}\
y =  – frac{1}{2}
end{array} right.
end{array} right.$