HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (2 điểm)
1. Rút gọn biểu thức
$a)\,\sqrt{12}+3\sqrt{48}-5\sqrt{75}=2\sqrt{3}+12\sqrt{3}-25\sqrt{3}=-11\sqrt{3}$
$\begin{array}{l}
b){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5\sqrt {\frac{1}{5}} - \dfrac{8}{{1 + \sqrt 5 }} + \dfrac{{\sqrt {20} - 5}}{{2 - \sqrt 5 }} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{5} - \dfrac{{8\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}} + \dfrac{{2\sqrt 5 - 5}}{{2 - \sqrt 5 }}\\
= \sqrt 5 - \dfrac{{8\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}}{{ - 4}} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {2 - \sqrt 5 } \right)}}{{2 - \sqrt 5 }} = \sqrt 5 + 2\left( {1 - \sqrt 5 } \right) + \sqrt 5 \\
{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 2\sqrt 5 + 2 - 2\sqrt 5 = 2
\end{array}$
2. Giải phương trình:
$a){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sqrt {9{x^2}} = 6 \Leftrightarrow 3\left| x \right| = 6 \Leftrightarrow \left| x \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 2
\end{array} \right.$
Vậy $x\in \left\{ -2;2 \right\}$
$b)\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \frac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} $ ĐK: $x \ge 5$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} - \sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} = 4\\
\Leftrightarrow \sqrt {x - 5} = 2 \Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9\left( {TM} \right)
\end{array}$
Vậy$x=9$ .
Bài II (2 điểm).
a) Rút gọn: ĐK: $x\ge 0;x\ne 1$
$\begin{array}{l}
B = \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{1 - x}}\\
B = \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}\\
B = \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
B = \dfrac{{\sqrt x + 1 + \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\
B = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
B = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\
B = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}
\end{array}$
b) $P=A:B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{x+3}$ . ĐK: $x\ge 0;x\ne 1$
$P<0\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x}-1}{x+3}<0$
Mà $x+3\ge 3>0$ $\forall x$ tm ĐKXĐ
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \sqrt x - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \sqrt x < 1\\
\Leftrightarrow 0 \le x < 1
\end{array}$
Kết hợp ĐKXĐ: $x\ge 0;x\ne 1$
$\Rightarrow 0\le x<1$
Vậy $P<0$ khi $0\le x<1$
c) $\dfrac{1}{P}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{x-1+1+3}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-1}+2$
Có: $x>1\Leftrightarrow \sqrt{x}-1>0\Leftrightarrow \dfrac{4}{\sqrt{x}-1}>0$
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si với hai số $\sqrt{x}-1>0{{;}_{{}}}\dfrac{4}{\sqrt{x}-1}>0$ có:
$\begin{array}{l}
\sqrt x - 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x - 1}} \ge 2.\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\dfrac{4}{{\sqrt x - 1}}} \\
\Leftrightarrow \sqrt x - 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x - 1}} + 2 \ge 4 + 2\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{P} \ge 6
\end{array}$
Dấu $''=''$ xảy ra
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sqrt x - 1 = \dfrac{4}{{\sqrt x - 1}} \Rightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 4\\
\Leftrightarrow \sqrt x - 1 = {2_{}}\left( {d{o_{}}\sqrt x - 1 > 0} \right) \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\left( {TM} \right)
\end{array}$
Vậy GTNN của $\dfrac{1}{P}$ là $6$ khi $x=9$
Bài III (2 điểm).
1. $\left( {{d}_{1}} \right):y=-2x+3$ cho $x=0$ ⇒ $y=3$ ⇒ $\left( {{d}_{1}} \right)$ đi qua $\left( 0;3 \right)$
$y=0$⇒ $x=\dfrac{3}{2}$ ⇒ $\left( {{d}_{1}} \right)$ đi qua $\left( \dfrac{3}{2};0 \right)$
$\left( {{d}_{2}} \right):y=\dfrac{1}{2}x-2$ cho $x=0$ ⇒ $y=-2$ ⇒ $\left( {{d}_{2}} \right)$ đi qua $\left( 0;-2 \right)$
$y=0$ ⇒ $x=4$ ⇒ $\left( {{d}_{2}} \right)$ đi qua $\left( 4;0 \right)$
2) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ là:
$-2x+3=0,5x-2$ ⇔ $x=2$ ⇒ $y=-1$
Vậy tọa độ điểm $C\left( 2;-1 \right)$
3) Tọa độ điểm $A\left( 0;3 \right)$; $B\left( 0;-2 \right)$
$\Rightarrow OA=3cm;OB=2cm;AB=OA+OB=5cm$
Kẻ $CH\bot AB$. Vì $C(2;-1)\Rightarrow CH=2cm$
${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.CH$
Diện tích tam giác ABC là: $\frac{1}{2}\times 5\times 2=5~\left( c{{m}^{2}} \right)$
Bài IV (3,5 điểm).
a)
Do $\Delta MAB$ nội tiếp đường tròn$(O)$ có cạnh $AB$ là đường kính
$\Rightarrow \Delta MAB$ vuông tại $M$ $\Rightarrow \widehat{AMB}={{90}^{o}}$ hay $\widehat{EMF}={{90}^{o}}$
+) Xét nửa đường tròn $(O)$có: $E$ là trung điểm của $MA$ (gt)
$\Rightarrow OE\bot MA$ ( quan hệ vuông góc đường kính và dây)
$\Rightarrow \widehat{MEO}={{90}^{o}}$
+) Xét nửa đường tròn $(O)$ có: $F$ là trung điểm của $MB$(gt)
$\Rightarrow OF\bot MB$ ( quan hệ vuông góc đường kính và dây)
$\Rightarrow \widehat{MFO}={{90}^{o}}$
+) Xét tứ giác $\text{MEOF}$có: $\widehat{EMF}=\widehat{MEO}=\widehat{MFO}={{90}^{o}}\,\,(cmt)$
à Tứ giác $\text{MEOF}$ là hình chữ nhật (dhnb)
b) Xét $\Delta ACO:$$OA=OM\Rightarrow \Delta OMA$ là tam giác cân tại $O$
$OC$ là đường trung tuyến
$\Rightarrow $ OC là đường trung trực của MA $\Rightarrow CA=CM$
+) Xét $\Delta ACO\And \Delta MCO:$
$\begin{array}{l}
OM = OA\\
CM = CA.
\end{array}$
$OC:$là cạnh chung
$\Rightarrow \Delta ACO=\Delta MCO\,(c.c.c)$
Suy ra được $\widehat{CAO}=\widehat{CMO}={{90}^{o}}\Rightarrow CA\bot AB$
Mà A$\in $ nửa (O;R)
Nên CA là tiếp tuyến của nửa (O:R) hay CA tiếp xúc với đường tròn (O;R)
+) Xét $\Delta AEO$ vuông tại E có $\widehat{EAO}={{30}^{o}}\Rightarrow \widehat{EOA}={{60}^{o}}$
+) $tan\widehat{AOC}=\dfrac{CA}{AO}\Rightarrow CA=AO.tan\widehat{AOC}=3\sqrt{3}\,\,(cm)$
+) Vì F là trung điểm của MB (gt), $OF\bot MB$ (cmt)
$\Rightarrow OD$ là đường trung trực của $MB\Rightarrow BD=MD(t/c)$
+) Chứng minh: $\widehat{EOF}={{90}^{o}}$ hay $\widehat{COD}={{90}^{o}}$
+) Xét $\Delta COD$ vuông tại O (cmt), đường cao OM có:
$\Rightarrow O{{M}^{2}}=CM.MD$ ( HTL trong tam giác vuông)
$\Rightarrow CM.MD={{R}^{2}}$,
Mà $CM=CA;MD=BD$ (cmt) nên $CA.BD={{R}^{2}}$
+) Chứng minh: $\Delta BDO=\Delta MDO\,\,(c.c.c)\Rightarrow \widehat{DBO}=\widehat{DMO}$
Mà $\widehat{DMO}={{90}^{o}}\Rightarrow \widehat{DBO}={{90}^{o}}\Rightarrow DB\bot AB$
+) Ta có: $CA\bot AB,\,\,DB\bot AB\,\,(cmt)\,\,\Rightarrow AC//BD$
à Tứ giác $ACDB$ là hình thang $\Rightarrow {{S}_{ACDB}}=\dfrac{1}{2}\left( AC+BD \right).AB$
Áp dụng bđt Cô si, ta được:
$AC+BD\ge 2\sqrt{AC.BD}=2\sqrt{{{R}^{2}}}=2R$
$\Rightarrow {{S}_{ACDB}}=\dfrac{1}{2}\left( AC+BD \right).AB\ge \dfrac{1}{2}.2R.2R=2{{R}^{2}}$
Vậy ${{S}_{ACDB}}\ge 2{{R}^{2}}$
d)
$\Delta CEI$ và $\Delta BFI$ có CE//BF $\Rightarrow \dfrac{CI}{IB}=\dfrac{CE}{BF}$ ( hệ quả ĐL Ta lét) (1)
$\Delta COD$ có ME//OD $\Rightarrow \dfrac{CE}{EO}=\dfrac{CM}{MD}$ ( ĐL Ta lét) (2)
Mà EO = MF = BF $\Rightarrow \dfrac{CE}{BF}=\dfrac{CE}{EO}$ (3)
Từ (1) và (2), (3) $\Rightarrow \dfrac{CI}{IB}=\dfrac{CM}{MD}$
$\Rightarrow MI//BD$ ( ĐL Ta lét đảo) hay MK // BD
$\Rightarrow MK\bot AB\,\,(do\,BD\bot AB)$
Xét $\Delta MKA$ vuông tại K: có $KE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $MA$
$\Rightarrow KE=ME=\dfrac{MA}{2}$
Chứng minh tương tự : $KF=MF$
$\Rightarrow EF$ là đường trung trực của MK.
Bài V (0,5 điểm).
Cách 1:
$\begin{array}{l}
2M = 2\sqrt 3 xy + 2{y^2}\\
2M = {x^2} + 2\sqrt 3 xy + 3{y^2} - {x^2} - {y^2}\\
2M = {\left( {x + \sqrt 3 y} \right)^2} - 1 \ge - 1\\
M \ge \frac{{ - 1}}{2}
\end{array}$
Vậy GTNN $M = - \frac{1}{2}$ dấu bằng xẩy ra khi $\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
y = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
y = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
