HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1
1. Với x = 16( TM ĐK) , ta có :
$A=dfrac{sqrt{16}-2}{sqrt{16}}=dfrac{4-2}{4}=dfrac{1}{2}$ .
Vậy x = 16 thì $A=dfrac{1}{2}$
2. Rút gọn biểu thức : $P=A.left( dfrac{1}{sqrt{x}+2}+dfrac{1}{sqrt{x}-2} right)$, với $x>0;xne 4$
Ta có
$P=dfrac{sqrt{x}-2}{sqrt{x}}.left( dfrac{1}{sqrt{x}+2}+dfrac{1}{sqrt{x}-2} right)=dfrac{sqrt{x}-2}{sqrt{x}}.dfrac{sqrt{x}-2+sqrt{x}+2}{left( sqrt{x}+2 right)left( sqrt{x}-2 right)}=dfrac{2sqrt{x}}{sqrt{x}left( sqrt{x}+2 right)}=dfrac{2}{sqrt{x}+2}$
Vậy : $P=dfrac{2}{sqrt{x}+2}$ với $x>0;xne 4$
3. Để $P>dfrac{1}{3}Leftrightarrow dfrac{2}{sqrt{x}+2}>dfrac{1}{3}$ với $x>0;xne 4$
$begin{array}{l}
Leftrightarrow dfrac{2}{{sqrt x + 2}} > dfrac{1}{3} Leftrightarrow dfrac{2}{{sqrt x + 2}} – dfrac{1}{3} > 0 Leftrightarrow dfrac{{6 – sqrt x – 2}}{{3(sqrt x + 2)}} = dfrac{{4 – sqrt x }}{{3(sqrt x + 2)}} > 0\
Leftrightarrow 4 – sqrt x > 0quad left( {3 > 0;x > 0 = > 3(sqrt x + 2) > 0} right)
end{array}$
$Leftrightarrow sqrt{x}<4Leftrightarrow x<16$ kết hợp đk $x>0;xne 4$ $Rightarrow 0<x<16 $ và $ xne 4$
Vậy : $0<x<16$ và $ xne 4$ thì $P>dfrac{1}{3}$
Bài 2
1. Rút gọn biểu thức:
$sqrt{50}-3sqrt{8}+sqrt{32}=sqrt{{{5}^{2}}.2}-3.sqrt{{{2}^{2}}.2}+sqrt{{{4}^{2}}.2}$$=5sqrt{2}-3.2.sqrt{2}+4sqrt{2}$$=left( 5-6+4 right)sqrt{2}=3sqrt{2}$.
2. Giải các phương trình
a. $sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}=1Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}-2.x.2+{{2}^{2}}}=1$
$Leftrightarrow sqrt{{{left( x-2 right)}^{2}}}=1$
$Leftrightarrow left| x-2 right|=1$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 2 = 1\
x – 2 = – 1
end{array} right.$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 3\
x = 1
end{array} right.$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=left{ 1 ; 3 right}$.
b. $sqrt{{{x}^{2}}-3x}-sqrt{x-3}=0$ $left( 1 right)$.
Điều kiện xác định: $left{ begin{array}{l}
x – 3 ge 0\
{x^2} – 3x ge 0
end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 3\
xleft( {x – 3} right) ge 0
end{array} right.$$Leftrightarrow xge 3$.
Khi đó, $left( 1 right)Leftrightarrow sqrt{xleft( x-3 right)}=sqrt{x-3}$
$Rightarrow xleft( x-3 right)=x-3$
$Leftrightarrow left( x-3 right)left( x-1 right)=0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 3 = 0\
x – 1 = 0
end{array} right.$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 3\
x = 1
end{array} right.$
Kết hợp với điều kiện $ xge 3$ ta được $x=3$. Vậy phương trình có tập nghiệm $S=left{ 3 right}$.
Bài 3.
1. Với $m=2Rightarrow y=x+3$ $left( d right)$
Giao của đường thẳng $left( d right)$ và trục $Ox$ là $Aleft( 0;3 right)$
Giao của đường thẳng $left( d right)$ và trục $Oy$ là $Bleft( -3;0 right)$
Đồ thị
2. Để $left( d right):y=left( m-1 right)x+3$ song song với đường thẳng $y=2x+1$ thì $m-1=2Leftrightarrow m=3$
3. Từ $O$ kẻ $OHbot AB,Hin AB$. Khi đó, khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $left( d right)$ là độ dài đoạn $OH$
Ta có $OA=left| {{y}_{A}} right|=left| 3 right|=3$ và $OB=left| {{x}_{B}} right|=left| -3 right|=3$. Xét tam giác $OAB$ vuông tại $O$ có:
$begin{array}{l}
dfrac{1}{{O{H^2}}} = dfrac{1}{{O{A^2}}} + dfrac{1}{{O{B^2}}}\
Leftrightarrow dfrac{1}{{O{H^2}}} = dfrac{1}{{{3^2}}} + dfrac{1}{{{3^2}}}\
Leftrightarrow dfrac{1}{{O{H^2}}} = dfrac{1}{9} + dfrac{1}{9}\
Leftrightarrow dfrac{1}{{O{H^2}}} = dfrac{2}{9}\
Leftrightarrow O{H^2} = dfrac{9}{2} Rightarrow OH = dfrac{{3sqrt 2 }}{2}
end{array}$
Vậy khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $left( d right)$ là $OH=dfrac{3sqrt{2}}{2}$.
Bài 4
a) Xét (O) có $Delta $MEN nội tiếp (O), MN là đường kính nên $Delta $MEN vuông tại E.
Vì DN là tiếp tuyến của (O) nên DN $bot $ ON $Leftrightarrow $ $Delta $MND vuông tại N.
Xét $Delta $MND có NE $bot $ MD nên: $DE.DM=D{{N}^{2}}$ (Hệ thức lượng)
b) Vì OI $bot $ ME nên $Delta $OID vuông tại I $Leftrightarrow $ 3 điểm O, I, D cùng nằm trên đường tròn đường kính OD.
$Delta $ODN vuông tại N nên 3 điểm D, O, N cùng nằm trên đường tròn đường kính OD.
$Leftrightarrow $ 4 điểm O, I, N, D cùng nằm trên đường tròn đường kính OD.
c) Gọi K là trung điểm của OD $Leftrightarrow $ O, I, N, D, A thuộc đường tròn (K) $Leftrightarrow $ KA = KN.
Vì A, N thuộc đường tròn (O) nên OA = ON.
Do đó: OK là đường trung trực của đoạn AN, mà D thuộc đường thẳng OK nên DA = DN.
Từ đó chứng minh được $Delta $DAO = $Delta $DNO (c.c.c) $Leftrightarrow $ $widehat{DAO}=widehat{DNO}$, mà $widehat{DNO}={{90}^{0}}$ $Leftrightarrow $ $widehat{DAO}={{90}^{0}}$
$Leftrightarrow $ AD $bot $ AO; A $in $ (O) nên AD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
d) Ta có: $DE.DM=D{{N}^{2}}$, mà DN = AD nên $DE.DM=D{{A}^{2}}$ $Leftrightarrow $ $dfrac{DE}{DA}=dfrac{DA}{DM}$.
Xét $Delta $ADE và $Delta $MDA có:
$widehat{ADM}$ chung;
$dfrac{DE}{DA}=dfrac{DA}{DM}$
$Leftrightarrow $ $Delta ADE$ đồng dạng $Delta $MDA (c.g.c).
$Leftrightarrow $ $widehat{AED}=widehat{DAM}$.
Bài 5
Ta có $P=left( x+y right)left( dfrac{1}{x}+dfrac{4}{y} right)=5+dfrac{y}{x}+dfrac{4x}{y}ge 5+2.sqrt{dfrac{y}{x}.dfrac{4x}{y}}=9$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l}
dfrac{y}{x} = dfrac{{4x}}{y}\
dfrac{1}{x} + dfrac{4}{y} = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 3\
y = 6
end{array} right.$(Thỏa mãn).
Vậy min $P = 9$ đạt được khi $x = 3, y = 6$.
