|
a (1,5 điểm) |
Ta có: $OA=OB=R\Rightarrow \Delta AOB$ cân tại $O$ |
|
Xét $(O)$ có $MA,MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ $\Rightarrow OM$ là phân giác của $\widehat{AOB}$ (tính chất hai tiếp cắt nhau) $\Rightarrow OM$ vừa là phân giác vừa là đường cao của $\Delta AOB$ $\Rightarrow OM$ vuông góc với $AB$. |
|
|
Ta có: $MA\bot OA$ tại $A$ ($MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$) $\Rightarrow \widehat{MAO}={{90}^{0}}$ Xét $\Delta MAO$ có $\widehat{MAO}={{90}^{0}},AH\bot OM$ tại $H$, ta có: $OH.OM=O{{A}^{2}}$ (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) |
|
|
Mà $OA=R=OH.OM={{R}^{2}}$. |
|
|
b (1,0 điểm) |
Ta có: $\widehat{MAO}={{90}^{0}}$ $\Rightarrow \Delta MAO$ vuông tại $A$ $\Rightarrow M,A,O$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ (1) |
|
Xét $(O)$ có $I$ là trung điểm của dây $NP$ $\Rightarrow OI\bot NP$ tại $I$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) Hay $OI\bot MI$ tại $I$ $\Rightarrow \Delta MIO$ vuông tại $I$ $\Rightarrow M,I,O$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ (2) Từ (1) và (2) suy ra $M, A, I, O$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ và tâm đường tròn đó là trung điểm của $OM$. |
|
|
c (1,0 điểm) |
Xét $(O)$ có: $CA=CN$ (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C$) $DN=DB$ (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $D$) $MA=MB$ (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$) |
|
$MC+CD+DM=MC+CN+DN+DM$ $=MC+CA+BD+DM$ $(CA=CN,DN=DB)$ $=MA+MB=MA+MA$ $(MA=MB)$ $=2MA=2.5=10(cm)$ |
|
|
d (0,5 điểm) |
${{S}_{MEF}}={{S}_{MEO}}+{{S}_{MFO}}=\dfrac{1}{2}R(ME+MF)$ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta có: $ME=MA+AE\ge 2\sqrt{MA.AE}=2\sqrt{O{{A}^{2}}}=2R$ $MF=MB+BF\ge 2\sqrt{MB.BF}=2\sqrt{O{{B}^{2}}}=2R$ $\Rightarrow {{S}_{MEF}}=\dfrac{1}{2}R(ME+MF)\ge 2{{R}^{2}}$ |
|
Dấu $''=''$ xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} $\Leftrightarrow \Delta OEM,\Delta OFM$ vuông cân tại $O$ $\Leftrightarrow \Delta OMB,\Delta OMA$ vuông cân tại $O\Leftrightarrow OM=R\sqrt{2}$ Vậy khi $OM=R\sqrt{2}$ thì diện tích tam giác $MEF$ nhỏ nhất. |
|
|
Câu 4 |
|
|
|
Đặt $AH=x,CG=y$. Ta có: ${{S}_{ABCD}}={{S}_{EFGH}}+({{S}_{AHE}}+{{S}_{BEF}}+{{S}_{FCG}}+{{S}_{HDG}})=36$ $\Leftrightarrow {{S}_{EFGH}}=36-({{S}_{AHE}}+{{S}_{BEF}}+{{S}_{FCG}}+{{S}_{HDG}})=30-({{S}_{AHE}}+{{S}_{FCG}}+{{S}_{HDG}})$ Đặt $S={{S}_{AHE}}+{{S}_{CFG}}+{{S}_{DGH}}$ Tính trực tiếp ta có $S=\dfrac{1}{2}.x.2+\dfrac{1}{2}.y.3+\dfrac{1}{2}.(6-x).(6-y)$ $\Leftrightarrow 2S=2x+3y+(6-x)(6-y)\Leftrightarrow 2S=xy-4x-3y+36$ (1) Ta chứng minh được $\Delta AEH\sim \Delta CGF$ (g-g) $\Rightarrow \dfrac{AE}{CG}=\dfrac{AH}{CF}\Rightarrow \dfrac{2}{y}=\dfrac{x}{3}\Rightarrow xy=6$ (2) |
|
|
Thay (2) vào (1): $2S=42-\left( 4x+\dfrac{18}{x} \right)$ Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương ta có: $4x+\dfrac{18}{x}\ge 2\sqrt{4x.\dfrac{18}{x}}=12\sqrt{2}$ $\Rightarrow 2S=42-\left( 4x+\dfrac{18}{x} \right)\le 42-12\sqrt{2}$, $\Leftrightarrow S\le 21-6\sqrt{2}\Leftrightarrow {{S}_{EFGH}}\ge 9+6\sqrt{2}$, Dấu $''=''$ xảy ra khi $4x=\dfrac{18}{x}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ Vậy $AH=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ thì hình thang $EFGH$ có diện tích nhỏ nhất. |
