|
a (1,5 điểm) |
Ta có: $OA=OB=RRightarrow Delta AOB$ cân tại $O$ |
|
Xét $(O)$ có $MA,MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ $Rightarrow OM$ là phân giác của $widehat{AOB}$ (tính chất hai tiếp cắt nhau) $Rightarrow OM$ vừa là phân giác vừa là đường cao của $Delta AOB$ $Rightarrow OM$ vuông góc với $AB$. |
|
|
Ta có: $MAbot OA$ tại $A$ ($MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$) $Rightarrow widehat{MAO}={{90}^{0}}$ Xét $Delta MAO$ có $widehat{MAO}={{90}^{0}},AHbot OM$ tại $H$, ta có: $OH.OM=O{{A}^{2}}$ (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) |
|
|
Mà $OA=R=OH.OM={{R}^{2}}$. |
|
|
b (1,0 điểm) |
Ta có: $widehat{MAO}={{90}^{0}}$ $Rightarrow Delta MAO$ vuông tại $A$ $Rightarrow M,A,O$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ (1) |
|
Xét $(O)$ có $I$ là trung điểm của dây $NP$ $Rightarrow OIbot NP$ tại $I$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) Hay $OIbot MI$ tại $I$ $Rightarrow Delta MIO$ vuông tại $I$ $Rightarrow M,I,O$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ (2) Từ (1) và (2) suy ra $M, A, I, O$ thuộc đường tròn đường kính $OM$ và tâm đường tròn đó là trung điểm của $OM$. |
|
|
c (1,0 điểm) |
Xét $(O)$ có: $CA=CN$ (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C$) $DN=DB$ (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $D$) $MA=MB$ (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$) |
|
$MC+CD+DM=MC+CN+DN+DM$ $=MC+CA+BD+DM$ $(CA=CN,DN=DB)$ $=MA+MB=MA+MA$ $(MA=MB)$ $=2MA=2.5=10(cm)$ |
|
|
d (0,5 điểm) |
${{S}_{MEF}}={{S}_{MEO}}+{{S}_{MFO}}=dfrac{1}{2}R(ME+MF)$ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta có: $ME=MA+AEge 2sqrt{MA.AE}=2sqrt{O{{A}^{2}}}=2R$ $MF=MB+BFge 2sqrt{MB.BF}=2sqrt{O{{B}^{2}}}=2R$ $Rightarrow {{S}_{MEF}}=dfrac{1}{2}R(ME+MF)ge 2{{R}^{2}}$ |
|
Dấu $”=”$ xảy ra $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} $Leftrightarrow Delta OEM,Delta OFM$ vuông cân tại $O$ $Leftrightarrow Delta OMB,Delta OMA$ vuông cân tại $OLeftrightarrow OM=Rsqrt{2}$ Vậy khi $OM=Rsqrt{2}$ thì diện tích tam giác $MEF$ nhỏ nhất. |
|
|
Câu 4 |
|
|
|
Đặt $AH=x,CG=y$. Ta có: ${{S}_{ABCD}}={{S}_{EFGH}}+({{S}_{AHE}}+{{S}_{BEF}}+{{S}_{FCG}}+{{S}_{HDG}})=36$ $Leftrightarrow {{S}_{EFGH}}=36-({{S}_{AHE}}+{{S}_{BEF}}+{{S}_{FCG}}+{{S}_{HDG}})=30-({{S}_{AHE}}+{{S}_{FCG}}+{{S}_{HDG}})$ Đặt $S={{S}_{AHE}}+{{S}_{CFG}}+{{S}_{DGH}}$ Tính trực tiếp ta có $S=dfrac{1}{2}.x.2+dfrac{1}{2}.y.3+dfrac{1}{2}.(6-x).(6-y)$ $Leftrightarrow 2S=2x+3y+(6-x)(6-y)Leftrightarrow 2S=xy-4x-3y+36$ (1) Ta chứng minh được $Delta AEHsim Delta CGF$ (g-g) $Rightarrow dfrac{AE}{CG}=dfrac{AH}{CF}Rightarrow dfrac{2}{y}=dfrac{x}{3}Rightarrow xy=6$ (2) |
|
|
Thay (2) vào (1): $2S=42-left( 4x+dfrac{18}{x} right)$ Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương ta có: $4x+dfrac{18}{x}ge 2sqrt{4x.dfrac{18}{x}}=12sqrt{2}$ $Rightarrow 2S=42-left( 4x+dfrac{18}{x} right)le 42-12sqrt{2}$, $Leftrightarrow Sle 21-6sqrt{2}Leftrightarrow {{S}_{EFGH}}ge 9+6sqrt{2}$, Dấu $”=”$ xảy ra khi $4x=dfrac{18}{x}Leftrightarrow {{x}^{2}}=dfrac{9}{2}Leftrightarrow x=dfrac{3sqrt{2}}{2}$ Vậy $AH=dfrac{3sqrt{2}}{2}$ thì hình thang $EFGH$ có diện tích nhỏ nhất. |
