Giải-đề 7-trang 1

Câu

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Câu 1

a)

Thay $x=\dfrac{1}{4}$ (Thỏa mãn điều kiện) vào $A$ ta được:

$A=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{4}}-1}=\dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}}=-4$

Vậy khi $x=\dfrac{1}{4}$ thì $A=-4$.

b)

(1,5điểm)

$B=\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}$

$B=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}$

$=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

c)

(0,5điểm)

Ta có $P=\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}:\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}$.

Vì $\sqrt{x}\ge 0$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện nên $\sqrt{x}+1\ge 1\Rightarrow \dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\le 2$.

Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=0$.

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $2$ khi $x=0$.

Câu 2

a

(1,5điểm)

Đồ thị hàm số (1) đi qua điểm $M(-1;-1)$ nên ta có $-1=m.(-1)+1\Leftrightarrow m=2$ (thỏa mãn điều kiện $m\ne 0$)

Với $m=2$ ta có $y=2x+1$.

Cho $x=0$, tính được $y=1$ nên điểm $(0;1)$ thuộc đồ thị

Đồ thị hàm số $y=2x+1$ là đường thẳng đi qua hai điểm $(0;1)$ và $(-1;-1)$

b

(1điểm)

Ta có đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng $d$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} - 2 = m}\\
{2m + 3 \ne 1}
\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(m + 1)(m - 2) = 0}\\
{m \ne  - 1}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m =  - 1}\\
{m = 2}
\end{array}} \right.}\\
{m \ne  - 1}
\end{array}} \right.
\end{array}$

$\Rightarrow m=2$ (thoả mãn điều kiện $m\ne 0$).

Vậy với $m=2$ thì đồ thị hàm số (1) và đường thẳng $d$ song song.

Ghi chú: Học sinh không loại được $m=-1$ thì trừ $0,25$.

c)

(0,5điểm)

Đường thẳng đi qua hai điểm $A(0;1)$ và $B\left( \dfrac{-1}{m};0 \right)$ là đồ thị hàm số (1)

$\Rightarrow OA=1,OB=\left| \dfrac{-1}{m} \right|=\dfrac{1}{|m|}$.

Kẻ $OH$ vuông góc với $AB$ tại $H$ nên $OH$ là khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $y=mx+1$.

$\Rightarrow OH=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.

Xét tam giác vuông $OAB$ có $\widehat{AOB}={{90}^{0}},OH\bot AB$.

$\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}$ (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông).

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{1}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{1}{|m|} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{2}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=\pm \dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn ĐK $m\ne 0$)

Vậy để khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đồ thị hàm số (1) bằng $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ thì $m=\pm \dfrac{1}{2}$.

.