Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{6\sqrt{x}-4}{1-x}$ với $x\ge 0;x\ne 1$
a) Rút gọn P
$\begin{array}{l}
P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{{6\sqrt x - 4}}{{1 - x}}\\
P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}\\
P = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 3\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {6\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\
P = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\
P = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\
P = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}
\end{array}$
b) Tìm giá trị của x để $P=-1$
$P=-1\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=-1\Rightarrow \sqrt{x}-1=-\sqrt{x}-1\Leftrightarrow 2\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0$ (TM $x\ge 0;x\ne 1$)
Vậy x = 0 thì $P=-1$
c) So sánh P với 1
Xét hiệu: $P-1=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-1=\dfrac{-2}{\sqrt{x}+1}$
Vì $\sqrt{x}+1\ge 1>0$ với $x\ge 0;x\ne 1$ nên $\dfrac{-2}{\sqrt{x}+1}<0$
Khi đó: $P-1<0$ nên $P<1$
Bài 2 (2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc của xe khách là 20km/h. Do đó nó đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100km.
Giải:
Gọi vận tốc của xe khách là x (km/h). ĐK: x > 0
Khi đó vận tốc xe du lịch là x + 20 (km/h).
Theo đề bài ta có:
+ Thời gian xe khách đi từ A đến B là: $\dfrac{100}{x}$ (h)
+ Thời gian xe du lịch đi từ A đến B là: $\dfrac{100}{x+20}$(h)
Vì xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút = $\dfrac{5}{6}h$ nên ta có phương trình: $\dfrac{100}{x}-\dfrac{100}{x+20}=\dfrac{5}{6}$
Giải phương trình ta có: x = 40 (TM) hoặc x = - 60 (L)
Vậy vận tốc của xe khách là là 40km/h, vận tốc của xe du lịch là 60km/h.
Bài 3 (2 điểm): Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}$ với $a\ne 0$ có đồ thị là parabol (P)
a) Xác định a biết parabol (P) đi qua điểm $A\left( -1;1 \right)$
Vì $A\left( -1;1 \right)\in \left( P \right)$nên thay $x=-1;\text{ y = 1}$ vào hàm số $y=a{{x}^{2}}$ ta có: $1=\text{a}.{{\left( -1 \right)}^{2}}$.
Khi đó: a = 1.
b) Vẽ đồ thị của hàm số $y=a{{x}^{2}}$ với a vừa tìm được ở trên
Khi a = 1 ta có $y={{x}^{2}}$
c) Cho đường thẳng $\left( d \right):y=2x+3.$ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) với hệ số a tìm được ở câu a.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) ta có: ${{\text{x}}^{2}}=2\text{x}+3$
Khi đó: x = 3 hoặc x = -1
Khi đó A (3; 9) và B (-1; 1) là giao điểm của của đường thẳng (d) và parabol (P).
d) Tính diện tích tam giác AOB với A và B là giao điểm của (P) và (d).
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{{\rm{S}}_{{\rm{AOB}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{AOI}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{BOI}}}}\\
= \dfrac{1}{2}BE.OI + \dfrac{1}{2}{\rm{AF}}.OI\\
= \dfrac{1}{2}\left( {{\rm{BE}} + {\rm{AF}}} \right).{\rm{OI}}\\
{\rm{ = }}\left( {\left| {{{\rm{x}}_{\rm{A}}}} \right|{\rm{ + }}\left| {{{\rm{x}}_{\rm{B}}}} \right|} \right)\left| {{{\rm{y}}_{\rm{I}}}} \right|\\
= \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1 + 3} \right) \cdot 3 = 6\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}
\end{array}\]
Vậy ${{\text{S}}_{\text{OAB}}}=6\text{c}{{\text{m}}^{\text{2}}}$.
Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường thẳng d và đường tròn (O; R) không có điểm chung. Kẻ OH vuông góc với đường thẳng d tại H. Lấy điểm M bất kì thuộc d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O; R). Nối AB cắt OH, OM lần lượt tại K và I.
a) Chứng minh 5 điểm M, H, A, O, B cùng thuộc một đường tròn
Gọi D là trung điểm của MO.
Ta có:
+ HD là đường trung tuyến trong tam giác vuông MHO. Khi đó: DH = DM = DO.
+ BD là đường trung tuyến trong tam giác vuông MBO. Khi đó: DB = DM = DO.
+ AD là đường trung tuyến trong tam giác vuông MAO. Khi đó: DA = DO = DM.
Khi đó: DB = DM = DO = DH = DA.
Vậy M, H, O, A, B thuộc đường tròn (D) với D là trung điểm của MO.
b) Chứng minh OK.OH = OI.OM
MB và MA là hai tiếp tuyến cắt nhau nên MO là phân giác của $\widehat{\text{BMC}}$ và MB = MA.
Xét tam giác MAB có MA = MB, MO là phân giác của $\widehat{\text{BMC}}$ nên MO $\bot $ AB tại I.
Ta có: tam giác vuông OIK đồng dạng với tam giác vuông OHM (chung góc KOI).
Khi đó: $\dfrac{\text{OI}}{\text{OH}}=\dfrac{\text{OK}}{\text{OM}}\Rightarrow \text{OI}\text{.OM}=\text{OH}\text{.OK}$(đpcm)
c) Chứng minh khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định
Có: $\text{OH}\text{.OK}=\text{OI}\text{.OM}=\text{O}{{\text{B}}^{2}}={{\text{R}}^{2}}\Rightarrow \text{OH}\text{.OK}={{\text{R}}^{2}}\Rightarrow \text{OK}=\dfrac{{{\text{R}}^{2}}}{\text{OH}}$.
Mà OH không đổi, nên OK không đổi, K là điểm cố định.
Vậy khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm K cố định.
d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: ${{\text{S}}_{\text{OIK}}}=\dfrac{1}{2}\text{OI}\text{.IK}\le \dfrac{1}{4}\left( \text{O}{{\text{I}}^{2}}\text{+I}{{\text{K}}^{2}} \right)=\dfrac{1}{4}\text{O}{{\text{K}}^{2}}$
Để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất khi OI = IK. Khi đó: $1=\dfrac{\text{OI}}{\text{IK}}=\dfrac{\text{OH}}{\text{HM}}$.
Suy ra OH = HM.
Vậy điểm M nằm trên đường thẳng (d) sao cho OH = HM thì diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5 (0,5 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\dfrac{x+3\sqrt{x-2}}{x+4\sqrt{x-2}+1}$
ĐK: $\text{x}\ge 2$
$A = \dfrac{{x + 3\sqrt {x - 2} }}{{x + 4\sqrt {x - 2} + 1}} = \dfrac{{x - 2 + 3\sqrt {x - 2} + 2}}{{x - 2 + 4\sqrt {x - 2} + 3}} = \dfrac{{\left( {\sqrt {x - 2} + 2} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 2} + 3} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 1} \right)}} = \dfrac{{\sqrt {x - 2} + 2}}{{\sqrt {x - 2} + 3}} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} + 3}}$
Ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+3}\le \dfrac{1}{3}$
Khi đó: $1-\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+3}\ge \dfrac{2}{3}\Rightarrow A\ge \dfrac{2}{3}$
Dấu “=” xảy ra khi $\text{x}=2$ (thỏa mãn ĐK)
Vậy GTNN A = $\dfrac{2}{3}$ khi x = 2.
