Giải chi tiết đề thi giữa kì 2 môn Toán 9 trường THCS Dich Vọng Hậu Hà Nội năm 2017- 2018

Bài 1 $2điểm$: Cho biểu thức $P=dfrac{sqrt{x}}{sqrt{x}-1}+dfrac{3}{sqrt{x}+1}+dfrac{6sqrt{x}-4}{1-x}$  với $xge 0;xne 1$

a) Rút gọn P

$begin{array}{l}
P = dfrac{{sqrt x }}{{sqrt x  – 1}} + dfrac{3}{{sqrt x  + 1}} + dfrac{{6sqrt x  – 4}}{{1 – x}}\
P = dfrac{{sqrt x }}{{sqrt x  – 1}} + dfrac{3}{{sqrt x  + 1}} – dfrac{{6sqrt x  – 4}}{{x – 1}}\
P = dfrac{{sqrt x left$sqrtx+1right$ + 3left$sqrtx–1right$ – left$6sqrtx–4right$}}{{left$sqrtx+1right$left$sqrtx–1right$}}\
P = dfrac{{x – 2sqrt x  + 1}}{{left$sqrtx+1right$left$sqrtx–1right$}}\
P = dfrac{{{{left$sqrtx–1right$}^2}}}{{left$sqrtx+1right$left$sqrtx–1right$}}\
P = dfrac{{sqrt x  – 1}}{{sqrt x  + 1}}
end{array}$

b) Tìm giá trị của x để $P=-1$

$P=-1Leftrightarrow dfrac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}+1}=-1Rightarrow sqrt{x}-1=-sqrt{x}-1Leftrightarrow 2sqrt{x}=0Leftrightarrow x=0$ $TM\$xge0;xne1\$$

Vậy x = 0 thì $P=-1$

c) So sánh P với 1

Xét hiệu: $P-1=dfrac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}+1}-1=dfrac{-2}{sqrt{x}+1}$

Vì $sqrt{x}+1ge 1>0$ với $xge 0;xne 1$ nên $dfrac{-2}{sqrt{x}+1}<0$

Khi đó: $P-1<0$ nên $P<1$

Bài 2 $2điểm$: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

            Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc của xe khách là 20km/h. Do đó nó đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100km.

Giải:

Gọi vận tốc của xe khách là x $km/h$. ĐK: x > 0

Khi đó vận tốc xe du lịch là x + 20 $km/h$.

Theo đề bài ta có:

+ Thời gian xe khách đi từ A đến B là: $dfrac{100}{x}$ $h$

+ Thời gian xe du lịch đi từ A đến B là: $dfrac{100}{x+20}$$h$

Vì xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút = $dfrac{5}{6}h$ nên ta có phương trình: $dfrac{100}{x}-dfrac{100}{x+20}=dfrac{5}{6}$

Giải phương trình ta có: x = 40 $TM$ hoặc x = – 60 $L$

Vậy vận tốc của xe khách là là 40km/h, vận tốc của xe du lịch là 60km/h.

Bài 3 $2điểm$: Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}$ với $ane 0$ có đồ thị là parabol $P$

a) Xác định a biết parabol $P$ đi qua điểm $Aleft$-1;1right$$

Vì $Aleft$-1;1right$in left$Pright$$nên thay $x=-1;text{ y = 1}$ vào hàm số $y=a{{x}^{2}}$ ta có: $1=text{a}.{{left$-1right$}^{2}}$. 

Khi đó: a = 1.

b) Vẽ đồ thị của hàm số $y=a{{x}^{2}}$ với a vừa tìm được ở trên

Khi a = 1 ta có $y={{x}^{2}}$

c) Cho đường thẳng $left$dright$:y=2x+3.$ Tìm tọa độ giao điểm của $d$ và $P$ với hệ số a tìm được ở câu a.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $P$ ta có: ${{text{x}}^{2}}=2text{x}+3$

Khi đó: x = 3 hoặc x = -1

Khi đó A $3;9$ và B $-1;1$ là giao điểm của của đường thẳng $d$ và parabol $P$.

d) Tính diện tích tam giác AOB với A và B là giao điểm của $P$ và $d$.

Ta có:

$$beginarrayl{rmS}_{rmAOB}={rmS}_{rmAOI}+{rmS}_{rmBOI}=dfrac12BE.OI+dfrac12rmAF.OI=dfrac12left(rmBE+rmAFright).rmOIrm=left(left|{rmx}_{rmA}right|rm+left|{rmx}_{rmB}right|right)left|{rmy}_{rmI}right|=dfrac12cdotleft(1+3right)cdot3=6,rmc{rmm}^{2}endarray$$

Vậy ${{text{S}}_{text{OAB}}}=6text{c}{{text{m}}^{text{2}}}$.

Bài 4 $3,5điểm$: Cho đường thẳng d và đường tròn $O;R$ không có điểm chung. Kẻ OH vuông góc với đường thẳng d tại H. Lấy điểm M bất kì thuộc d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn $O;R$. Nối AB cắt OH, OM lần lượt tại K và I.

a) Chứng minh 5 điểm M, H, A, O, B cùng thuộc một đường tròn

Gọi D là trung điểm của MO.

Ta có:

+ HD là đường trung tuyến trong tam giác vuông MHO. Khi đó: DH = DM = DO.

+ BD là đường trung tuyến trong tam giác vuông MBO. Khi đó: DB = DM = DO.

+ AD là đường trung tuyến trong tam giác vuông MAO. Khi đó: DA = DO = DM.

Khi đó: DB = DM = DO = DH = DA.

Vậy M, H, O, A, B thuộc đường tròn $D$ với D là trung điểm của MO.

b) Chứng minh OK.OH = OI.OM

MB và MA là hai tiếp tuyến cắt nhau nên MO là phân giác của $widehat{text{BMC}}$ và MB = MA.

Xét tam giác MAB có MA = MB, MO là phân giác của $widehat{text{BMC}}$ nên MO $bot $ AB tại I.

Ta có: tam giác vuông OIK đồng dạng với tam giác vuông OHM $chunggócKOI$.

Khi đó: $dfrac{text{OI}}{text{OH}}=dfrac{text{OK}}{text{OM}}Rightarrow text{OI}text{.OM}=text{OH}text{.OK}$$đpcm$

c) Chứng minh khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định

Có: $text{OH}text{.OK}=text{OI}text{.OM}=text{O}{{text{B}}^{2}}={{text{R}}^{2}}Rightarrow text{OH}text{.OK}={{text{R}}^{2}}Rightarrow text{OK}=dfrac{{{text{R}}^{2}}}{text{OH}}$.

Mà OH không đổi, nên OK không đổi, K là điểm cố định.

Vậy khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm K cố định.

d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: ${{text{S}}_{text{OIK}}}=dfrac{1}{2}text{OI}text{.IK}le dfrac{1}{4}left$textO{textI}^{2}text+I{textK}^{2}right$=dfrac{1}{4}text{O}{{text{K}}^{2}}$

Để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất khi OI = IK. Khi đó: $1=dfrac{text{OI}}{text{IK}}=dfrac{text{OH}}{text{HM}}$.

Suy ra OH = HM.

Vậy điểm M nằm trên đường thẳng $d$ sao cho OH = HM thì diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5 $0,5điểm$: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=dfrac{x+3sqrt{x-2}}{x+4sqrt{x-2}+1}$

ĐK: $text{x}ge 2$

$A = dfrac{{x + 3sqrt {x – 2} }}{{x + 4sqrt {x – 2}  + 1}} = dfrac{{x – 2 + 3sqrt {x – 2}  + 2}}{{x – 2 + 4sqrt {x – 2}  + 3}} = dfrac{{left$sqrtx–2+2right$left$sqrtx–2+1right$}}{{left$sqrtx–2+3right$left$sqrtx–2+1right$}} = dfrac{{sqrt {x – 2}  + 2}}{{sqrt {x – 2}  + 3}} = 1 – dfrac{1}{{sqrt {x – 2}  + 3}}$

  Ta có: $dfrac{1}{sqrt{x-2}+3}le dfrac{1}{3}$

Khi đó: $1-dfrac{1}{sqrt{x-2}+3}ge dfrac{2}{3}Rightarrow Age dfrac{2}{3}$

Dấu “=”  xảy ra khi $text{x}=2$ $thỏamãnĐK$

Vậy GTNN A = $dfrac{2}{3}$ khi x = 2.