HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (2 điểm)
a) Thay x = 9 (TMĐK) vào biểu thức A ta được:
$A=\dfrac{2\sqrt{9}}{\sqrt{9}-2}=\dfrac{6}{3-2}=6$
Vậy khi x = 9 thì A = 6
b)
$\begin{array}{l}
B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\\
= \dfrac{x}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 2)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\\
= \dfrac{{x + \sqrt x - 2}}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 2)}}\\
= \dfrac{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 1)}}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 2)}}\\
= \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}
\end{array}$
Vậy $B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}$ với $x\ge 0; x\ne 4$
c)
$\dfrac{A}{B} = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}:\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}$.
$\begin{array}{l}
= \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}}\\
= \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\\
= 2 + \dfrac{2}{{\sqrt x - 1}}
\end{array}$
Để biểu thức $\dfrac{A}{B}$ có giá trị là số nguyên$\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{x}-1}$ có giá trị nguyên
$\Rightarrow 2 \vdots (\sqrt{x}-1)$ hay $\sqrt{x}-1\in $ Ư(2)
Mà Ư(2) $\in \left\{ \pm 1;\pm 2 \right\}$
Ta có bảng sau:
Vì $x\ge 0;x\ne 4$
Vậy $x\in \left\{ 0;9 \right\}$ thì $\dfrac{A}{B}$ có giá trị là số nguyên.
Bài 2 (2 điểm)
Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng sản xuất được là x
(sản phẩm; $x\in {{N}^{*}}$ ; x < 1100)
Số sản phẩm thực tế phân xưởng làm được trong một ngày là : x + 5 (sản phẩm)
Thời gian phân xưởng hoàn thành công việc theo kế hoạch là $\dfrac{1100}{x}$ (ngày)
Thời gian phân xưởng hoàn thành công việc theo thực tế là $\dfrac{1100}{x+5}$ (ngày)
Vì phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày nên ta có phương trình :
$\dfrac{1100}{x}-\dfrac{1100}{x+5}=2$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1100(x + 5) - 1100x = 2x(x + 5)\\
\Leftrightarrow 1100x + 5500 - 1100x = 2{x^2} + 10x\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 10x - 5500 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + 5x - 2750 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + 55x - 50x - 2750 = 0\\
\Leftrightarrow x(x + 55) - 50(x + 55) = 0\\
\Leftrightarrow (x + 55)(x - 50) = 0
\end{array}$
$\Rightarrow {{x}_{1}} = -55$ (loại) ; x2 =50 (TMĐK)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng sản xuất được 50 sản phẩm.
Bài 3 (2 điểm)
- Giải hệ phương trinh: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} - \dfrac{2}{{y - 2}} = 4\\
\sqrt {x + 1} + \dfrac{1}{{y - 2}} = 5
\end{array} \right.$
ĐKXĐ: $x\ge -1;y\ne 2$
Đặt $a=\sqrt{x+1}$ ; $b=\dfrac{1}{y-2}$ ĐK: $a\ge 0;b\ne 0$. Ta có hệ phương trình:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
3a - 2b = 4\\
2a + b = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a - 2b = 4\\
4a + 2b = 10
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
7a = 14\\
2a + b = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1
\end{array} \right.(TM)
\end{array}$.
Thay
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} = 2\\
\dfrac{1}{{y - 2}} = 1
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 = 4\\
y - 2 = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 3
\end{array} \right.(TM)
\end{array}$
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm $(x;y) = (3;3).$
3) Cho phương trình: ${{x}^{2}}-mx-4=0$ (1)
a)Ta có:
$\Delta ={{(-m)}^{2}}-4.1.(-4)$
= m2 + 16 > 0 với mọi giá trị của $m$
Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ với mọi giá trị của $m$.
b)Vì phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ với mọi giá trị của m nên theo định lý Vi-ét ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m\\
{x_1}{x_2} = - 4
\end{array} \right.$
Mà ${{x}_{1}}{{x}_{2}}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=-13$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - (x_1^2 + x_2^2) = - 13\\
\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left[ {{{(x_1^{} + x_2^{})}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] = - 13\\
\Rightarrow - 4 - \left[ {{m^2} - 2.( - 4)} \right] = - 13
\end{array}$
(Thay ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m;{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-4$)
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} = 1\\
\Leftrightarrow m = \pm 1
\end{array}$
Vậy $m=\pm 1$ thì thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 4 (3,5 điểm)
a. Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp
Vì AM , AN là tiếp tuyến của (O) nên :
$\widehat{AMO}=\widehat{ANO}={{90}^{0}}$
Xét tứ giác AMON có:
$\widehat{AMO}+\widehat{ANO}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$
Vì 2 góc này ở vị trí đối nhau nên Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh :$A{{M}^{2}}=AB.AC$
Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ACM$có:
$\widehat{CAM}$ chung
$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ (Vì cùng bằng $\dfrac{1}{2}sd\overset\frown{MB}$ )
$\Rightarrow \Delta AMB\sim \Delta ACM$(g-g)
$\Rightarrow \dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}$ (tỉ số đồng dạng) $\Rightarrow A{{M}^{2}}=AB.AC$
c) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.
Ta có: OM = ON = R$\Rightarrow \Delta OMN$cân tại O có OA là tia phân giác của $\widehat{MON}$(Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên OA đồng thời là đường trung trực của MN
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ANO$ vuông tại N có:
$A{{N}^{2}}=AH.AO$
Mà $A{{M}^{2}}=AB.AC$(cmt)
Và $AM=AN$ (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow AH.AO = AB.AC\\
\Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AO}}
\end{array}$
Xét $\Delta ABH$và $\Delta AOC$có:
$\widehat{OAC}$ chung
$\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{AO}$(cmt)
$\Rightarrow \Delta ABH\sim \Delta AOC$(c-g-c)$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{ACO}$
Mà $\widehat{AHB}+\widehat{BHO}={{180}^{0}}$(2 góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{AOC}+\widehat{BHO}={{180}^{0}}$
Do đó tứ giác BHOC có tổng 2 góc đối diện bằng ${{180}^{0}}$
Vậy Tứ giác BHOC nội tiếp .
d)Chứng minh rằng HN là tia phân giác của $\widehat{BHC}$.
Vì tứ giác BHOC nội tiếp $\Rightarrow \widehat{OHC}=\widehat{OBC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn$\overset\frown{OC}$)
Mà OB = OC = R $\Rightarrow \Delta OBC$ cân tại O$\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OCB}$
Theo chứng minh câu c: $\widehat{AHB}=\widehat{OCB}\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{OHC}$
Mặt khác: $MN\bot OA$tại H $\Rightarrow \widehat{AHB}+\widehat{BHN}=\widehat{ANH}={{90}^{0}}$
$\widehat{OHC}+\widehat{CHN}=\widehat{OHN}={{90}^{0}}$
$\Rightarrow \widehat{BHN}=\widehat{CHN}$
Vậy HN là tia phân giác của $\widehat{BHC}$
Bài 5 (0,5 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1$
Chứng minh rằng: $\dfrac{{{a}^{2}}}{a+b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}\ge \dfrac{1}{2}$
Giải
Ta có : a, b , c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số dương ta có:
$\dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{a + b}}.\dfrac{{a + b}}{4}} = 2.\dfrac{a}{2} = a$
Tương tự:
$\dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge b$
$\dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge c$
Cộng vế với vế ta được:
$\dfrac{{{a}^{2}}}{a+b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}+\dfrac{2(a+b+c)}{4}\ge a+b+c$
Hay
$\dfrac{{{a}^{2}}}{a+b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{c+a}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
Mặt khác: Theo bất đẳng thức côsi :
$\dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
$\dfrac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}$
$\dfrac{c+a}{2}\ge \sqrt{ca}$
$\Rightarrow \dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow a + b + c \ge 1\\
\Rightarrow \dfrac{{a + b + c}}{2} \ge \dfrac{1}{2}
\end{array}$
Dấu đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} = \dfrac{{a + b}}{4}\\
\dfrac{{{b^2}}}{{b + c}} = \dfrac{{b + c}}{4}\\
\dfrac{{{c^2}}}{{c + a}} = \dfrac{{c + a}}{4}\\
a = b = c\\
\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3}$
