Bài 1 (2 điểm): Giải các hệ phương trình sau:
a. $\left\{ \begin{array}{l}
3x - 7y = - 55\\
5x + 4y = 18
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
15x - 35y = - 275\\
- 15x - 12y = - 54
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 47y = - 329\\
5x + 4y = 18
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 7\\
x = - 2
\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;7} \right)$
b. $\left\{ \begin{array}{l}
0,8x + y = 0,6\\
0,3x - 0,9y = 1,5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2,4x + 3y = 1,8\\
x - 3y = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3,4x = 6,8\\
x - 3y = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = - 1
\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( x;y \right)=\left( 2;-1 \right)$ $\left( x;y \right)=\left( 2;-1 \right)$
Bài 2 (2 điểm): Cho ba điểm $A\left( 0;-8 \right);B\left( \dfrac{5}{2};2 \right);C\left( 1;7 \right)$ và đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$ có phương trình $3x+2y=-1.$
- Viết phương trình đường thẳng $\left( {{d}_{2}} \right)$ đi qua hai điểm A và B.
Gọi $y=\text{ }ax+b$ là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( 0;-8 \right);B\left( \dfrac{5}{2};2 \right)$. Khi đó $a$ và $b$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
a.0 + b = - 8\\
\frac{5}{2}a + b = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 8\\
5a - 16 = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 8\\
a = 4
\end{array} \right.$
Vậy phương trình đường thẳng $\left( {{d}_{2}} \right)$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ là $y=4x-8$
- Viết phương trình đường thẳng $\left( {{d}_{3}} \right)$ đi qua điểm C và song song với $\left( {{d}_{1}} \right)$
Gọi $y=\text{ }ax+b$ là phương trình đường thẳng đi qua điểm $C\left( 1;7 \right)$và song song với đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$: $3x+2y=-1\Leftrightarrow y=\dfrac{-3}{2}x-\dfrac{1}{2}.$Khi đó ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
a.1 + b = 7\\
a = \frac{{ - 3}}{2}\\
b \ne \frac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ - 3}}{2} + b = 7\\
a = \frac{{ - 3}}{2}\\
\\
b \ne \frac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{{ - 3}}{2}\\
b = \frac{{17}}{2}
\end{array} \right.$
Vậy phương trình đường thẳng $\left( {{d}_{3}} \right)$ đi qua điểm $C\left( 1;7 \right)$và song song với đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$là: $y=\dfrac{-3}{2}x+\dfrac{17}{2}.$
Bài 3 (2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Gọi số áo tổ I và tổ II may được trong một ngày lần lượt là: $x,\text{ }y$ (đơn vị: chiếc, ĐK: $x,y$ nguyên dương, nhỏ hơn 1310).
Tổ một may trong $3$ ngày, tổ hai may trong $5$ ngày thì cả hai tổ may được $1310$ chiếc áo nên ta có phương trình: $3x+5y=1310\text{ }\left( 1 \right)$
Trong một ngày tổ một may nhiều hơn tổ hai là$~10$ áo nên ta có: $x-y=10\text{ }\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
3x + 5y = 1310\\
x - y = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x + 5y = 1310\\
- 3x + 3y = - 30
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8y = 1280\\
x - y = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 160\\
x = 170
\end{array} \right.$ (TMĐK)
Vậy số áo tổ I và tổ II may được trong một ngày lần lượt là: 170 chiếc, 160 chiếc.
Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác $ABC\text{ }\left( AB<AC \right)$ có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn $\left( O;R \right)$ . Gọi $H$ là giao điểm của 3 đường cao $AD,\text{ }BE,\text{ }CF$ của tam giác $ABC$ .
- Chứng minh rằng các tứ giác $AEHF,\text{ }AEDB$ nội tiếp được.
- Vẽ đường kính $AK$ của đường tròn $\left( O \right).$ Chứng minh $AB.AC=2R.AD.$
- Chứng minh $OC$ vuông góc với $DE.$
Lại có: $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}={{90}^{0}}\Rightarrow E,D$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ . $\Rightarrow AEDB$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính$AB$ .
Lại có: $\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) |
|
Hay $\widehat{ABD}=\widehat{AKC}$
Xét $\Delta ADB,\Delta ACK$ có: $\widehat{ADB}=\widehat{ACK}={{90}^{0}},$ $\widehat{ABD}=\widehat{AKC}$$\Rightarrow \Delta DAB\backsim \Delta CAK$ (g.g)
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}\Rightarrow AB.AC=AK.AD$ hay $AB.AC=2R.AD$ (đpcm)
- Do $AEDB$ là tứ giác nội tiếp (ý a) nên $\widehat{DEC}=\widehat{ABC}$ (cùng bù với $\widehat{AED}$ )
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$$\Rightarrow \widehat{DEC}=\widehat{AKC}$
Lại có $\widehat{AKC}+\widehat{KAC}={{90}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{DEC}+\widehat{KAC}={{90}^{0}}$ (1)
Xét $\Delta AOC$ có $OA=OC\Rightarrow \Delta AOC$ cân tại O
$\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{ACO}$ hay $\widehat{KAC}=\widehat{ACO}$ (2)
Từ (1), (2) $\Rightarrow \widehat{DEC}+\widehat{ACO}={{90}^{0}}$ hay $\widehat{JEC}+\widehat{JCE}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{CJE}={{90}^{0}}\Rightarrow CO\bot DE$ tại $J.$
Bài 5 (1 điểm): Tìm các số tự nhiên $x,\text{ }y$ thỏa mãn phương trình $2x+5y=35$
Giả sử $x,\text{ }y$ là các số tự nhiên thỏa mãn phương trình $2x+5y=35$. Do $35$ và $5y$ đều chia hết cho $5$ nên $2x\vdots 5\Rightarrow x\vdots 5$ (vì $2$ và $5$ nguyên tố cùng nhau).
Đặt $x=5z\left( z\in N \right)$ . Thay vào phương trình ta được: $10z+5y=35\Leftrightarrow 2z+y=7$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}
y = 7 - 2z\\
x = 5z
\end{array} \right.$ $\left( {z \in N,2z \le 7} \right)$
Ta có bảng sau:
Vậy $\left( x;y \right)\in \left\{ \left( 0;7 \right);\left( 5;5 \right);\left( 10;3 \right);\left( 15;1 \right) \right\}$
