Đề 8: Chuyên Bắc Giang

Câu I. (5,0 điểm)

1. Cho biểu thức $A=\left( \dfrac{x+4\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2}+\dfrac{x+\sqrt{x}}{1-x} \right):\left( \dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{1-\sqrt{x}} \right)$  (với $x>0;\,\,x\ne 1$).
   1. Rút gọn biểu thức $A$.
   2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để $A\ge \dfrac{1+\sqrt{2018}}{\sqrt{2018}}.$
2. Cho phương trình ${{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x-3=0$ (1), với $x$ là ẩn, $m$ là tham số. Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình (1). Đặt $B=\dfrac{3x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+4{{x}_{1}}+4{{x}_{2}}-5}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4}$. Tìm $m$ khi $B$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu II. ( 5,0 điểm)

1. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+{{x}^{2}}+4x=7$.
2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
   {x^2} - xy - x + 3y - 6 = 0\\
   \sqrt {5x - 6}  + \sqrt {16 - 3y}  = 2{x^2} - 2x + y - 4.
   \end{array} \right.$

Câu III. (3,0 điểm)

1. Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $n$ để $2018+{{n}^{2}}$ là số chính phương.
2. Mười đội bóng chuyền tham gia giải bóng chuyền VTV cup 2018. Cứ hai đội trong giải đấu đó thi đấu với nhau đúng một trận. Đội thứ nhất thắng ${{x}_{1}}$ trận và thua ${{y}_{1}}$ trận, đội thứ hai thắng ${{x}_{2}}$ trận và thua ${{y}_{2}}$ trận,…, đội thứ mười thắng ${{x}_{10}}$ trận và thua ${{y}_{10}}$ trận. Biết rằng trong một trận đấu bóng chuyền không có trận hòa. Chứng minh rằng: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{10}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+...+y_{10}^{2}$.

Câu IV. (6,0 điểm)

1. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ với $AB<AC.$ Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $BC\,$($M$ không trùng với $B$ và $C$), đường thẳng $AM$cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm $D$ khác $A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCD$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm $E$ khác $C$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBD$ cắt đường thẳng $AB$ tại điểm $F$ khác $B$.
   1. Chứng minh tứ giác $BECF$ nội tiếp được trong một đường tròn.
   2. Chứng minh hai tam giác $ECD$, $FBD$ đồng dạng và ba điểm $E,\,M,\,F$ thẳng hàng.
   3. Chứng minh đường thẳng $OA$ vuông góc với đường thẳng $EF$.
2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Các cạnh của tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện $B{{C}^{2}}=2BC.AC+4A{{C}^{2}}$. Tính số đo góc $\widehat{ABC}$.

Câu V. (1,0 điểm)

             Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=8$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$M=\left| {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right|+\left| {{y}^{3}}-{{z}^{3}} \right|+\left| {{z}^{3}}-{{x}^{3}} \right|$.

----------------Hết----------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:............................................................ Số báo danh:..................................................

Giám thị 1 (Họ tên và ký):.....................................Giám thị 2 (Họ tên và ký):..........................................