Câu 42: Đáp án D
Hình vẽ tham khảo
Nối $\left\{ \begin{array}{l}
NE \cap AD = I\\
IM \cap BD = F
\end{array} \right. \Rightarrow $ Thiết diện là hình thang MNEF như hình vẽ trên.
Câu 43: Đáp án D
Vẽ đồ thị hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x\Rightarrow $ Đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ như hình vẽ dưới đây.
Do đó, phương trình ${{m}^{2}}+m=\left| f\left( x \right) \right|$ có 6 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow 0 < {m^2} + m < 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 2 < m < - 1\\
0 < m < 1
\end{array} \right..$
Câu 44: Đáp án A
Ta có $v\left( t \right)=\int{a\left( t \right)dt=\int{\left( -4+2t \right)dt={{t}^{2}}-4t+C}}$ mà $v\left( 0 \right)=20\Rightarrow C=20.$
Khi đó $v\left( t \right)={{t}^{2}}-4t+20={{\left( t-2 \right)}^{2}}+16\ge 16.$ Suy ra ${{v}_{\min }}=16\Leftrightarrow t=2.$
Vậy quãng đường vật đi được trong 2s là $S=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{t}^{2}}-4t+20 \right)dt=\dfrac{104}{3}m.}$
Câu 45: Đáp án A
Gọi $M=(\Delta )\cap (d)\Rightarrow M\in d\Rightarrow M(2t-1;t;3t-2)$
Mà $M\in (P)\Rightarrow 2t-1+2t+3t-2-4=0\Leftrightarrow t=1.$Suy ra $M(1;1;1).$
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {{u_\Delta }} {\rm{ \;}} \bot \overrightarrow {{n_{(P)}}} }\\
{\overrightarrow {{u_\Delta }} {\rm{ \;}} \bot \overrightarrow {{u_d}} {\rm{\;}}}
\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} {\rm{ \;}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = (5; - 1; - 3) \Rightarrow $
Phương trình $\Delta :\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}.$
Câu 46: Đáp án B
Ta có $g(x)=f(x)+2\text{x}\xrightarrow{{}}{{g}^{'}}(x)={{f}^{'}}(x)+2=0\Leftrightarrow {{f}^{'}}(x)=-2.$
Dựa vào ĐTHS, phương trình ${{f}^{'}}(x)=-2$ có 2 nghiệm phân biệt $x=-1,x={{x}_{0}}.$
Mà ${{g}^{'}}(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x=-1$. Suy ra $y=g(x)$ có duy nhất 1 điểm cực trị.
Câu 47: Đáp án C
Gọi M là trung điểm của $BC\Rightarrow BC\bot \left( A'AM \right)\Rightarrow \overset\frown{\left( A'BC \right);\left( ABC \right)}=\overset\frown{A'AM}$.
Tam giác A’AM vuông tại A, có $\tan \overset\frown{A'AM}=\dfrac{AA'}{AM}\Rightarrow AA'=\tan 60{}^\circ .\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\text{a}}{2}$.
Vậy thể tích cần tính là $V=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3\text{a}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
Câu 48: Đáp án A
Xét khai triển ${{\left( x-\dfrac{1}{4} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k-0}^{n}{C_{n}^{k}.{{x}^{n-k}}}.{{\left( -\dfrac{1}{4} \right)}^{k}}$. Hệ số của ${{x}^{n-2}}$ ứng với $k=2$.
Khi đó $C_{n}^{2}.{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{2}}=31\Leftrightarrow C_{n}^{2}=496\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!.2!}=496\Leftrightarrow {{n}^{2}}-n-992=0\Leftrightarrow n=32.$
Câu 49: Đáp án C
Kẻ $SH\bot (ABC)$ mà $\left\{ \begin{array}{l}
SB \bot AB\\
SC \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB \bot (SBH)\\
AC \bot (SCH)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB \bot BH\\
AC \bot CH
\end{array} \right. \Rightarrow HBAC$ là hình chữ nhật.
Ta có $HC//(SAB)\Rightarrow d(C;(SAB))=d(H;(SAB))=HK$, với $K$ là hình chiếu của $H$ trên $SB$.
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ đi qua điểm $H$.
$\Rightarrow {{R}_{S.ABC}}=\sqrt{R_{HBAC}^{2}+\dfrac{S{{H}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{B{{C}^{2}}+S{{H}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow SH=1.$
Tam giác $SBH$ vuông tại $H$, có
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{1}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Vậy khoảng cách cần tính là $d(C;(SAB))=\dfrac{\sqrt{3}}{2}cm.$
Câu 50: Đáp án D
Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow {{B}^{'}}H\bot (ABC).$
Gắn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ bên.
Với $\text{A(0;0;0),}\,\,\text{B(3;0;0),}\,\,\text{C(0;4;0),}\ \text{H}\left( \dfrac{3}{2};2;0 \right)$.
Và ${{A}^{'}}\left( -\dfrac{3}{2};2;3 \right)\,,\,{{C}^{'}}\left( \dfrac{3}{2};2;3 \right)\text{,}\,\,{{C}^{'}}\left( -\dfrac{3}{2};6;3 \right)\Rightarrow M\left( 0;2;3 \right).$
Khi đó \[\cos a = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_{(AMC')}}} .\overrightarrow {{n_{(A'BC)}}} } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{(AMC')}}} \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{(A'BC)}}} } \right|}} = \frac{{33}}{{\sqrt {3157} }}\]
