Câu 36: Đáp án B
Phương trình đường thẳng AB là: $\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = t\\
z = t
\end{array} \right.$
Suy ra $M\left( 3;3;3 \right)$ là giao điểm của AB và mặt phẳng (P) khi đó MC là tiếp tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$.
Theo tính chất phương tích ta có: $MA.MB=M{{C}^{2}}\Rightarrow M{{C}^{2}}=2\sqrt{3}.6\sqrt{3}=36.$
Do đó tập hợp điểm C là đường tròn tâm $M\left( 3;3;3 \right)$ bán kính $R=6.$
Câu 37: Đáp án B
Đặt $t={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}(t>0)$ khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-mt+2m+1=0\ (*)$
PT đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow (*)$ có ít nhất 1 nghiệm dương.
TH1: Phương trình đã cho có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - \frac{1}{2}\\
m > 0
\end{array} \right.$ ( Loại)
TH2: (*) chỉ có nghiệm dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {m^2} - 8m - 4 \ge 0\\
S = m > 0\\
P = 2m + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 4 + 2\sqrt 5 $
TH3: (*) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow P=2m+1<0\Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{2}$
Do đó $\mathbb{R}~\backslash S=\left. \left[ -\dfrac{1}{2};4+2\sqrt{5} \right. \right)\Rightarrow $tập này có 9 giá trị nguyên.
Câu 38: Đáp án B
$GT\Rightarrow \dfrac{x{{f}^{'}}(x)}{x+1}+\dfrac{f(x)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{x}{x+1}$
Lại có: $\left[ \dfrac{x}{x+1}.f(x) \right]'=\dfrac{x}{x+1},{{f}^{'}}(x)+\dfrac{f(x)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$
Nguyên hàm hai vế ta có: $\dfrac{x}{x+1}f(x)=\int{\dfrac{x}{x+1}d\text{x}=x-\ln \left| x+1 \right|+C}$
Do $f(1)=1\Rightarrow \dfrac{1}{2}f(1)=1-\ln 2+C\Rightarrow C=-1$
Khi đó: $\dfrac{2}{3}f(2)=2-\ln 3-1=1-\ln 3\Rightarrow f(2)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\ln 3\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{9}{2}.$
Câu 39: Đáp án C
Ta có: $\left| {{z}_{2}}-3-4i \right|=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left| 2{{\text{z}}_{2}}-6-8i \right|=1$. Đặt $A\,({{z}_{1}}),B\ (2{{\text{z}}_{2}})\Rightarrow P=MA+MB+2.$
Với $M(z)$ thuộc đường thẳng $(d):3\text{x}-2y-12=0.$ Và $\left\{ \begin{array}{l}
A \in \left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 1\\
B \in \left( {{C_2}} \right):{\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 1
\end{array} \right..$
Dễ thấy $({{C}_{1}}),({{C}_{2}})$ nằm cùng phía với $(d)$. Gọi I là điểm đối xứng với ${{I}_{1}}(3;4)$ qua $(d)$.
Phương trình đường thẳng $I{{I}_{1}}$ là $2\text{x}+3y-18=0\Rightarrow $ Trung điểm $E$ của $I{{I}_{1}}$ là $E\left( \dfrac{72}{13};\dfrac{30}{13} \right).$
Suy ra $I\left( \dfrac{105}{13};\dfrac{8}{13} \right)$. Khi đó đường tròn $(C)$ đối xứng $({{C}_{1}})$ qua $(d)$ là ${{\left( x-\dfrac{105}{13} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{8}{13} \right)}^{2}}=1.$
Và ${{A}^{'}}$ đối xứng với $A$ qua $(d)\Rightarrow MA+MB=M{{A}^{'}}+MB\ge {{A}^{'}}B=I{{I}_{2}}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}-2.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là ${{P}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{9945}}{13}.$
Câu 40: Đáp án D
Hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và Ox là nghiệm phương trình: $\ln \left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=0$
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=\pi \int\limits_{0}^{e-1}{{{\ln }^{2}}\left( x+1 \right)dx=}\pi .\left( e-2 \right).$
Câu 41: Đáp án A
Gọi $K$ là trung điểm $AB\Rightarrow MK//BC,\,\,\,KP//B{{B}^{'}}$
$\Rightarrow (MKP)//({{B}^{'}}{{C}^{'}}CB)\Rightarrow d(MP;HN)=d(K;(B{{B}^{'}}{{C}^{'}}C))$
$=\dfrac{1}{2}d(A;(B{{B}^{'}}{{C}^{'}}C))=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{AB.AC}{2\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
