Câu 30: Đáp án B
Ta có: $f(\log (\ln 10))=f\left( \log \left( \dfrac{1}{\log e} \right) \right)=f(-\log e)$
Mặt khác $f(-x)=a\ln \left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-b\sin \,x+6=a\ln \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}-b\sin \,x+6$
$=-a\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-b\sin \,x+6=-f(x)+6+6=-f(x)+12$
Do đó $f(-\log e)=-f(\log e)+12=10$.
Câu 31: Đáp án B
Ta có: ${{y}^{'}}=({{m}^{2}}-1){{x}^{2}}+2(m+1)x+3$
- Với $m=-1\Rightarrow {{y}^{'}}=3>0(\forall x\in \mathbb{R})$ thỏa mãn hàm số đồng biến trên$\mathbb{R}$
- Với $m=1\Rightarrow y'=4x+3>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{3}{4}$
- Với $m\ne \pm 1$để hàm số đồng biến trên $R \Leftrightarrow y' \ge 0(\forall x \in R) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 1 > 0\\
\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3({m^2} - 1) \le 0
\end{array} \right.$ - $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 1 > 0\\
- 2{m^2} + 2m + 4 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 1 > 0\\
{m^2} - m - 2 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \ge 2\\
m < - 1
\end{array} \right.$
Kết hợp $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-2;4]$ và cả 3 TH trên suy có 5 giá trị nguyên của $m$ là $-2;-1;2;3;4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 32: Đáp án D
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{{x^2} + 3}}{x} = x + \frac{3}{x}\\
2{\rm{x}} + 3y \le 14
\end{array} \right.$
Khi đó: $P=x(3xy-{{y}^{2}}-2{{x}^{2}})+2\text{x}=x(x-y)(y-2x)+2x$
$=(y-2\text{x})({{x}^{2}}-xy)+2\text{x}=-3(y-2\text{x})+2\text{x}=8\text{x}-3y=8\text{x}-3\dfrac{{{x}^{2}}+3}{x}=5\text{x}-\dfrac{9}{x}=f(x)$
Mặt khác: $2x+3\left( x+\dfrac{3}{x} \right)\le 14\Leftrightarrow 5\text{x}+\dfrac{9}{x}\le 14\Leftrightarrow 1\le x\le \dfrac{9}{5}\Rightarrow x\in \left[ 1;\dfrac{9}{5} \right]$
Xét hàm số $f(x)=5\text{x}-\dfrac{9}{x}$ trên khoảng $\left[ 1;\dfrac{9}{5} \right]$ ta có:
${{f}^{'}}(x)=5+\dfrac{9}{{{x}^{2}}}>0\left( \forall x\in \left[ 1;\dfrac{9}{5} \right] \right)\Rightarrow M+m=f(1)+f\left( \dfrac{9}{5} \right)=0.$
Câu 33: Đáp án C
Ta có: $y' = 4{x^3} + 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = - m
\end{array} \right.$
+) Để hàm số có CĐ, CT$\Leftrightarrow m<0$. Khi đó gọi $A\left( 0;-1 \right),B\left( \sqrt{-m};-{{m}^{2}}-1 \right),C\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}}-1 \right)$là 3 điểm cực trị. Gọi H là trung điểm của BC ta có: $H\left( 0;-{{m}^{2}}-1 \right)$
Dễ thấy tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AH đồng thời là đường cao do đó:
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}\left| {{m}^{2}} \right|.2\sqrt{-m}={{m}^{2}}\sqrt{-m}=4\sqrt{2}\Leftrightarrow m=-2\left( tm \right)$
Câu 34: Đáp án D
Trước hết ta tính số cách chọn 3 số phân biệt từ tập A sao cho không có 2 số nào liên tiếp (gọi số cách đó là M).
+) Ta hình dung có 13 quả cầu xếp thành 1 hàng dọc (tượng trưng cho 13 số còn lại của A)
+) Giữa 13 quả cầu đó và 2 đầu có tất cả 14 chỗ trống.
Số cách M cần tìm chính là số cách chọn 3 trong 14 chỗ trống đó, tức là bằng $C_{14}^{3}$.
Xác suất cần tính là $P=\dfrac{C_{14}^{3}}{C_{16}^{3}}=\dfrac{13}{20}.$
Câu 35: Đáp án C
Ta có: $PT\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-1+\sqrt{3}sin2x=2\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin 2x+cos2x=2\Leftrightarrow 2\sin \left( 2x+\dfrac{\pi }{6} \right)=2$
$\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\dfrac{\pi }{6} \right)=1\Leftrightarrow 2x+\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Với $x\in \left( 0;\dfrac{5\pi }{2} \right]\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{6};x=\dfrac{7\pi }{6};x=\dfrac{13\pi }{6}$ suy ra tổng các nghiệm là: $\dfrac{7\pi }{2}.$
