Đề 7: Q. Cầu Giấy

Câu 1. (2,5điểm) Cho hai biểu thức $A=dfrac{2}{sqrt{x-1}}$ và $B=dfrac{x+sqrt{x}}{x-1}-dfrac{1}{1-sqrt{x}}$ với $xge 0,xne 1$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=dfrac{1}{4}$;

b) Rút gọn biểu thức $B$;

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=dfrac{A}{B}$.

Câu 2. (3điểm) Cho hàm số$y=mx+1$ (1) (với m là tham số, $mne 0$)

a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm $Mleft( -1;-1 right)$. Với $m$ vừa tìm được, vẽ đồ thị hàm số (1) trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng $(d)$:$y=left( {{m}^{2}}-2 right)x+2m+3$

c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số (1) bằng $dfrac{2}{sqrt{5}}$.

Câu 3. (4điểm) Cho đường tròn $(O;R)$ cố định. Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ ($A,B$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$.

a) Chứng minh $OM$ vuông góc với AB và $OH.OM={{R}^{2}}$.

b) Từ $M$ kẻ cát tuyến $MNP$ với đường tròn ($N$ nằm giữa $M$ và $P$), gọi $I$ là trung điểm của $NP$ ($I$ khác $O$). Chứng minh 4 điểm $A,M,O,I$ cùng thuộc một đường tròn và tìm tâm của đường tròn đó.

c) Qua $N$ kẻ tiếp tuyến với đường tròn $(O)$, cắt $MA$ và $MB$ theo thứ tự ở $C$ và $D$. Biết $MA=5cm$, tính chu vi tam giác $MCD$.

d) Qua $O$ kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $OM$, cắt tia $MA$ và $MB$ lần lượt tại $E$ và $F$. Xác định vị trí của $M$ để diện tích tam giác $MEF$ nhỏ nhất.

Câu 4. (0,5điểm) Cho một mảnh giấy hình vuông $ABCD$ cạnh $6cm$. Gọi $E,F$ lần lượt là $2$ điểm nằm trên cạnh $AB$ và $BC$ sao cho $AE=2cm; BF=3cm$. Bạn
Nam muốn cắt một hình thang $EFGH$ (như hình bên) sao cho hình thang đó có diện tích nhỏ nhất. Xác định vị trí của $H$ trên cạnh $AD$, để bạn Nam có thể thực hiện mong muốn của mình?