Câu 14: Đáp án D
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{4{{x}^{2}}-3x+1}{2x+1}-ax-b \right)=0\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2x-\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2\left( 2x+1 \right)}-ax-b \right)=0$
$\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \left( 2-a \right)x-\left( \dfrac{5}{2}+b \right)+\dfrac{7}{2\left( 2x+1 \right)} \right)=0$ mà $\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{7}{2\left( 2x+1 \right)}=0$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\left( {2 - a} \right)x - \left( {\frac{5}{2} + b} \right) + \frac{7}{{2\left( {2x + 1} \right)}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 - a = 0\\
\frac{5}{2} + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = - \frac{5}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = - 3$
Câu 15: Đáp án B
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=11$ có tâm $I(1;-1;0),$ bán kính $R=\sqrt{11}.$
Các đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right),\left( {{d}_{2}} \right)$ có vectơ chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1;2 \right),\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2;1 \right)$
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( {{d}_{1}} \right),\left( {{d}_{2}} \right)$có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 3;-1;-1 \right)$ $\left( \alpha \right)$ có dạng: $\left( \alpha \right):3x-y-z+d=0.$ Vì $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với (S ) nên: $d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=R$
$ \Rightarrow \frac{{\left| {3 + 1 + d} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt {11} \; \Leftrightarrow \left| {4 + d} \right| = 11 \Leftrightarrow 4 + d = \; \pm 11$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d = \; - 7}\\
{d = 15}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {\alpha \;} \right):3x - y - z - 7 = 0}\\
{\left( {\alpha \;} \right):3x - y - z + 15 = 0}
\end{array}} \right.$
Nhận thấy điểm $A\left( 5;-11 \right)\in {{d}_{1}}$ cũng thuộc vào mặt phẳng $3x-y-z+15=0\Rightarrow$ mặt phẳng này chứa ${{d}_{1}}.$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\left( \alpha \right):3x-y-z-7=0$
Câu 16: Đáp án C
Điều kiện: $2x-1>0\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{2},$ vậy TXĐ của hàm số là $D=\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$
Câu 17: Đáp án D
Kiến thức: Chóp tam giác có 3 cạnh bên đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với trực tâm của đáy.
Chóp O.ABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, $M(2;1;5)$ là trực tâm $\Delta ABC.$
$\Rightarrow OM\bot \left( ABC \right)\equiv \left( P \right),$ vậy (P) nhận $\overrightarrow{OM}=(2;1;5)$ làm một vectơ pháp tuyến. $\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng (P) là: $2\left( x-2 \right)+y-1+5\left( z-5 \right)=0\Leftrightarrow 2x+y+5z-30=0$
Vậy $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2+2+15-30 \right|}{\sqrt{4+1+25}}=\dfrac{11\sqrt{30}}{30}$
