Câu 45: Đáp án D
HD: Ta có ${{3}^{x}}+{{a}^{x}}\ge {{6}^{x}}+{{9}^{x}}\Leftrightarrow f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{a}^{x}}-{{6}^{x}}-{{9}^{x}}\ge 0;\,\forall x\in \mathbb{R}.$
Xét $f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{a}^{x}}-{{6}^{x}}-{{9}^{x}}$ trên $\mathbb{R}$, có ${f}'\left( x \right)={{3}^{x}}.\ln 3+{{a}^{x}}.\ln a-{{6}^{x}}.\ln 6-{{9}^{x}}.\ln 9.$
Để $f\left( x \right)\ge 0;\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=0=f\left( 0 \right).$ Hay ${f}'\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow \ln a=\ln \dfrac{6\times 9}{3}\Rightarrow a=18.$
Câu 46: Đáp án B
HD: Áp dụng công thức tính nhanh, ta có $\dfrac{{{V}_{AMPBCD}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{BM}{B{B}'}+\dfrac{DP}{D{D}'} \right)=\dfrac{3}{8}\Rightarrow {{V}_{AMPBCD}}=3{{a}^{3}}.$
Câu 47: Đáp án D
HD: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = f'\left( x \right)dx
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = f\left( x \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.f'\left( x \right)dx = x.f\left( x \right)\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right.} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx.} $
Ta có $x.f\left( x \right)\left| _{0}^{\dfrac{\pi }{2}} \right.=\dfrac{\pi }{2}.f\left( \dfrac{\pi }{2} \right),$ thay $\text{x}=\dfrac{\pi }{2}$ vào giả thiết, ta được $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)+f\left( 0 \right)=0\Rightarrow f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=0.$
Lại có $f\left( x \right)+f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\cos x\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\sin x.\cos xdx}}$.
Đặt $t=\dfrac{\pi }{2}-x\xrightarrow{{}}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{4}.$ Vậy $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{x.{f}'\left( x \right)dx}=-\dfrac{1}{4}$.
Câu 48: Đáp án C
HD: Ta có $5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\Leftrightarrow 5w+5i=\left( 2+i \right)z-8+i\Leftrightarrow 5\left| w+i \right|=\left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|$
$\Leftrightarrow \left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 2+i \right|.\left| z-\dfrac{8-i}{2+i} \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| z-\dfrac{8-i}{2+i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm $M\left( z \right)$ là đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9,$ tâm $I\left( 3;-2 \right),R=3.$
Gọi $A\left( 1;2 \right),B\left( 5;2 \right)$ và $E\left( 3;2 \right)$ là trung điểm của AB suy ra $P=MA+MB.$
Lại có ${{\left( MA+MB \right)}^{2}}\le 2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)=4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}\Rightarrow P$ lớn nhất $\Leftrightarrow ME$ lớn nhất.
Mà $IE=4>R=3\xrightarrow{{}}M{{E}_{\max }}=IE+R=7.$ Vậy ${{P}_{\max }}=\sqrt{4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{53}.$
Câu 49: Đáp án C
HD: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng $v\left( x \right)\in \left[ 1;4 \right]$ với $\forall x\in \left[ 0;5 \right].$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}$ trên $\left[ 0;5 \right]$, có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x}}-\dfrac{1}{\sqrt{10-2x}}=0\Leftrightarrow x=3.$
Suy ra $\underset{\left[ 0;5 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=\sqrt{10};\underset{\left[ 0;5 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 3 \right)=5\Rightarrow \sqrt{10}\le \sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}\le 5.$
Khi đó $m=\dfrac{\sqrt{3x}+\sqrt{10-2x}}{u\left( x \right)}$ mà $\dfrac{1}{u\left( x \right)}\in \left[ \dfrac{1}{4};1 \right]\xrightarrow{{}}\dfrac{\sqrt{3\text{x}}+\sqrt{10-2\text{x}}}{u\left( x \right)}\in \left[ \dfrac{\sqrt{10}}{4};5 \right].$
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow m\in \left[ \dfrac{\sqrt{10}}{4};5 \right].$
Câu 50: Đáp án A
HD: Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right)=C_{9}^{3}.C_{6}^{3}.C_{3}^{3}=1680.$
Gọi X là biến cố “ không có phần nào gồm ba viên bi cùng màu”.
Khi đó, ta xét chia thành 3 phần: (2X – 1Đ), (1Đ – 2X), (1Đ – 2X).
Suy ra có $C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{2}^{1}.C_{4}^{2}.3=1080$ cách chọn $\Rightarrow n\left( X \right)=1080.$ Vậy $P=\dfrac{n\left( X \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{9}{14}.$
