Câu 31: Đáp án B
HD: Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng $\left( ABC \right)$, gọi M là trung điểm của
$AB \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MH \bot AB}\\
{SH \bot AB}
\end{array}} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SMH} \right)$
Do đó $\left( \widehat{\left( SAB \right);\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SMH}={{60}^{0}}$
Lại có $HM=\dfrac{1}{3}CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow SH=HM\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a}{2}$
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Độ dài đường sinh $l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$
Diện tích xung quanh hình nón là: ${{S}_{xq}}=\pi rl=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{6}$. Chọn B.
Câu 32: Đáp án B
HD: Đặt $t={{2}^{x}}\left( t>0 \right)$ ta có: ${{t}^{2}}+t+4={{3}^{m}}\left( t+1 \right)\Leftrightarrow {{3}^{m}}=\dfrac{{{t}^{2}}+t+4}{t+1}=t+\dfrac{4}{t+1}=g\left( t \right)$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=t+\dfrac{4}{t+1}\left( t>0 \right)$ ta có $g'\left( t \right)=1-\dfrac{4}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow t=1$
Lập BBT
Do mỗi giá trị của t có một giá trị của x nên phương trình đã cho có 2 nghiệm khi phương trình $g\left( t \right)={{3}^{m}}$ có 2 nghiệm $\Leftrightarrow 3<{{3}^{m}}<4\Leftrightarrow 1<m<{{\log }_{3}}4$. Chọn B.
Câu 33: Đáp án D
HD: Ta có $OB=\left| \left( 1+i \right)z \right|=\sqrt{2}\left| z \right|;\,\,AB=\left| \left( 1+i \right)z-z \right|=\left| z \right|$
Suy ra ∆OAB vuông cân tại $A\Rightarrow {{S}_{OAB}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}=\dfrac{{{\left| z \right|}^{2}}}{2}=8\Rightarrow \left| z \right|=4$. Chọn D.
Câu 34: Đáp án C
HD: Gọi $H\left( 1+2t;-1+t;2-t \right)\in d$ là hình chiếu của A trên d
Ta có: $\overline{AH}\left( 2t;-3+t;3-t \right)$, giải $\overline{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 4t+t-3+t-3=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $H\left( 3;0;1 \right)$, phương trình đường thẳng AH là $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+1}{1}$
Do đó $B=AH\cap \left( P \right)$ suy ra $B\left( 0;3;-2 \right)$. Chọn C.
Câu 35: Đáp án D
HD: Gọi $I=\int\limits_{-2}^{2}{\dfrac{f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}}dx$, đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx$
Đổi cận suy ra $I=\int\limits_{2}^{-2}{\dfrac{f\left( -t \right)}{{{3}^{-t}}+1}}\left( -dt \right)=\int\limits_{-2}^{2}{\dfrac{f\left( t \right)dt}{\dfrac{1}{{{3}^{t}}}+1}}=\int\limits_{-2}^{2}{\dfrac{{{3}^{x}}f\left( x \right)dx}{{{3}^{x}}+1}}$
Suy ra $2I=\int\limits_{-2}^{2}{\dfrac{\left( {{3}^{x}}+1 \right)f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}}dx=\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}$
Do $f\left( x \right)$ là hàm chẵn nên ta chứng minh được $\int\limits_{-2}^{2}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{0}^{2}{f}\left( x \right)dx$
Suy ra $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=3$. Chọn D.
Câu 36: Đáp án C
HD: Xét hàm số $g\left( x \right)=-2f\left( 2-x \right)+{{x}^{2}}\Rightarrow g'\left( x \right)=2f'\left( 2-x \right)+2x<0\Leftrightarrow f'\left( 2-x \right)<-x$
$\Leftrightarrow f'\left( 2-x \right)<2-x-2$
Đặt $t=2-x\Leftrightarrow f'\left( t \right)<t-2$
Dựa vào đồ thị ta thấy $f'\left( t \right)<t-2$ với $1<t<3\Rightarrow 1<2-x<3\Leftrightarrow -1<x<1$
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;0). Chọn C.
