Đề 3: đề thi vào lớp 10 chuyên Tỉnh Nam Định năm 2016-2017 (đề chung)

Câu 1 (2,0 điểm).

     1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức $A=\sqrt{x-1}+\dfrac{2}{3-x}.$

     2) Tính giá trị của biểu thức $B=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}+x$ với $x=3-\sqrt{3}.$

     3) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$, biết cạnh $AB=5$cm.

     4) Tìm các tọa độ giao điểm của đường thẳng $y=-x+2$ và parabol $y={{x}^{2}}.$

Câu 2 (1,5 điểm). Cho biểu thức $P=\dfrac{3\left( x+2\sqrt{x} \right)}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$ (với $x\ge 0;\,\,x\ne 1$).

    1) Chứng minh $P=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$.

    2) Chứng minh rằng nếu $x\ge 0;\,\,x\ne 1$ thì $P\le $$\dfrac{3}{2}$.

Câu 3 (2,5 điểm).

    1) Cho phương trình ${{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+2m-2=0$ (với $m$ là tham số).

           a) Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4+{{x}_{1}}{{x}_{2}}$.

           b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 2.

    2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} - {y^2} - xy + x - y = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\
\sqrt {2x + y - 2}  + 2 - 2x = 0.
\end{array} \right.$

Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chữ nhật $ABCD$, kẻ $AH$ vuông góc với $BD$ tại $H$ và $HE,\,\,HF$ lần lượt vuông góc với $AB,\,\,AD$ tại $E$ và $F$. Gọi $K$, $M$ lần lượt là trung điểm của $HD$, $BC$ và $I$ là giao điểm của  $AH$ với $EF$.

    1) Chứng minh $I$ là trực tâm của tam giác $ABK.$

    2) Chứng minh tứ giác $ABMK$ là tứ giác nội tiếp.

    3) Chứng minh $A{{H}^{3}}=BE.BD.DF$.

Câu 5 (1,0 điểm). Xét $x,\,y,\,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\dfrac{1}{4{{x}^{2}}-yz+2}+\dfrac{1}{4{{y}^{2}}-zx+2}+\dfrac{1}{4{{z}^{2}}-xy+2}.$

--------- HẾT---------