Câu 1: Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+5}$ đồng biến trên
A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ -5 \right\}$. B. $\left( -5;+\infty \right)$. C. $\mathbb{R}$. D. $\left( -\infty ;5 \right)$.
Câu 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm là ${f}'\left( x \right)=x{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-1 \right)$. Hàm số $y=f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$. B. $2$. C. $0$. D. $3$.
Câu 3: Một người vay ngân hàng $100$ triệu đồng với lãi suất là $0,7%$ một tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng $5$ triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới $5$ triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.
A. $24$. B. $23$. C. $22$. D. $21$
Câu 4: Hàm số $y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. $1$. B. $0$. C. $3$. D. $2$.
Câu 5: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2\left( m-4 \right){{x}^{2}}+m+5$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$. Tìm $m$ để $\left( {{C}_{m}} \right)$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ $O$ làm trọng tâm.
A. $m=1$ hoặc $m=\frac{17}{2}$. B. $m=1$. C. $m=4$. D. $m=\frac{17}{2}$.
Câu 6: $\underset{x\to -\,\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3-4x}{5x+2}$ bằng
A. $\frac{5}{4}$. B. $-\frac{5}{4}$. C. $-\,\frac{4}{5}$. D. $\frac{4}{5}$.
Câu 7: Cho hàm số $y=\frac{5x+3}{\sqrt{4{{x}^{2}}-1}}$. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
A. $3$. B. $4$. C. $1$. D. $2$.
Câu 8: Phương trình ${{\log }_{2}}\left( 5-{{2}^{x}} \right)=2-x$ có hai ngiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$. Tính $P={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}$.
A. $11$. B. $9$. C. $3$. D. $2$.
Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;1;1 \right)$, $B\left( 0;3;-1 \right)$. Mặt cầu
$\left( S \right)$ đường kính $AB$ có phương trình là:
A. ${{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=3$. B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=3$.
C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$. D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$.
Câu 10: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy $AB=a$, cạnh bên $A{A}'=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B{C}'$ và $C{A}'$ bằng
A. $\frac{a\sqrt{6}}{6}$. B. $\frac{a\sqrt{6}}{24}$. C. $\frac{a\sqrt{6}}{12}$. D. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;-3;2 \right)$, $B\left( 3;5;4 \right)$. Tìm toạ độ điểm $M$ trên trục $Oz$ so cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $M\left( 0;0;49 \right)$. B. $M\left( 0;0;67 \right)$. C. $M\left( 0;0;3 \right)$. D. $M\left( 0;0;0 \right)$.
Câu 12: Cho $f\left( x \right)$, $g\left( x \right)$ là hai hàm số liên tục trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ và $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ. Biết $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x=5}$;$\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)\text{d}x=7\,}$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x=10}$. B. $\int\limits_{-1}^{1}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x=10}$.
C. $\int\limits_{-1}^{1}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\text{d}x=10}$. D. $\int\limits_{-1}^{1}{g\left( x \right)\text{d}x=14}$.
Câu 13: Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó phân biệt. Tính xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi.
A. $\frac{83}{90}$. B. $\frac{1}{90}$. C. $\frac{13}{90}$. D. $\frac{89}{90}$.
Câu 14: Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{2-x}{x+2}}$ là
A. $\left( -2;2 \right)$. B. $\left[ 0;2 \right)$. C. $\left( 0;2 \right)$. D. $\left( -\infty ;-2 \right)\cup \left[ 0;2 \right)$.
Câu 15: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$. Thể tích của khối nón bằng
A. $\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$. B. $\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{3}$. C. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{12}$. D. $\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
Câu 16: Tìm hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển ${{\left( 1+3x \right)}^{2n}}$ biết $A_{n}^{3}+2A_{n}^{2}=100$
A. $61236$. B. $63216$. C. $61326$. D. $66321$.
Câu 17: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3mx+m-1$. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục $Ox$ có diện tích phần nằm phía trên trục $Ox$ và phần nằm phía dưới trục $Ox$bằng nhau. Giá trị của $m$ là
A. $\frac{2}{3}$. B. $\frac{4}{5}$. C. $\frac{3}{4}$. D. $\frac{3}{5}$.
Câu 18: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, $AC=a$, tam giác $SAB$ cân tại $\text{S}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Tính khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ theo $a$.
A. $\frac{a\sqrt{13}}{26}$. B. $\frac{3a\sqrt{26}}{13}$. C. $\frac{a\sqrt{13}}{2}$. D. $\frac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}$.
Câu 19: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $1$, $SA$ vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên $\left( SBC \right)$ và đáy bằng ${{60}^{\text{o}}}$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
A. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{12}$. B. $\frac{43\pi }{36}$. C. $\frac{43\pi }{4}$. D. $\frac{43\pi }{12}$.
Câu 20: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{\text{o}}}$. Biết rằng thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ bằng
A. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. B. $\frac{a\sqrt{6}}{3}$. C. $\frac{a\sqrt{10}}{5}$. D. $\frac{a\sqrt{10}}{10}$.
Câu 21: Cho hàm số $y={{x}^{2}}+\frac{16}{x}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Cực tiểu của hàm số bằng $12$. B. Cực tiểu của hàm số bằng $2$.
C. Cực đại của hàm số bằng $12$. D. Cực đại của hàm số bằng $2$.
Câu 22: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{x}{1+\sqrt{x+1}}\text{d}x}\,$ nếu đặt $t=\sqrt{x+1}$ thì $I$ là
A. $I=\int\limits_{1}^{2}{\left( 2{{t}^{2}}-t \right)\text{d}t}$. B. $I=\int\limits_{1}^{2}{\left( 2{{t}^{2}}+2t \right)\text{d}t}$.
C. $I=\int\limits_{1}^{2}{\left( 2{{t}^{2}}-2t \right)\text{d}t}$. D. $I=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{t}^{2}}-2t \right)\text{d}t}$.
Câu 23: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z-4=0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = 2 + 2t\\
z = - 2 - t
\end{array} \right.$. Tam giác $ABC$ có $A\left( -1;2;1 \right)$, các điểm $B$, $C$ nằm trên $\left( P \right)$ và trọng tâm $G$ nằm trên đường thẳng $d$. Tọa độ trung điểm $I$ của $BC$ là
A. $I\left( 1;-1;-4 \right)$. B. $I\left( 2;1;2 \right)$. C. $I\left( 2;-1;-2 \right)$. D. $I\left( 0;1;-2 \right)$.
Câu 24: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với hai đường thẳng ${d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t\\
y = - 1 - 3t\\
z = 4t
\end{array} \right.\,$, ${d_2}:\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = 3 + 2t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.$. Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?
A. $\overrightarrow{n}=\left( -5;-6;7 \right)$. B. $\overrightarrow{n}=\left( -5;6;7 \right)$.
C. $\overrightarrow{n}=\left( -5;6;-7 \right)$. D. $\overrightarrow{n}=\left( 5;-6;7 \right)$.
Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$để hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$
A. $-2<m\le -1$. B. $-2\le m<-1$. C. $-2\le m\le -1$. D. $m\le -1$.
Câu 26: Cho đường cong $\left( C \right):y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+3x+4$ và đường thẳng $d:3x-y+4=0$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng tiếp xúc với $\left( C \right)$ và song song với $d$?
A. $y=3x+\frac{268}{27}$. B. $y=3x+4$.
C. $81x-27y+32=0$. D. $81x-27y+140=0$.
Câu 27: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{x\left( 2+x \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$?
A. $\frac{{{x}^{2}}}{x+1}$. B. $\frac{{{x}^{2}}+x-1}{x+1}$. C. $\frac{{{x}^{2}}-x-1}{x+1}$. D. $\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}$.
Câu 28: Một lớp có $40$ học sinh gồm $25$ nam và $15$ nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn $4$ em trực cờ đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu ít nhất phải có một nam?
A. $C_{40}^{4}-C_{15}^{4}$ (cách). B. $C_{25}^{4}$ (cách). C. $C_{25}^{1}C_{15}^{3}$ (cách). D. $C_{40}^{4}+C_{15}^{4}$ (cách).
Câu 29: Cho $a,\,\,b$ là hai số thực dương bất kì, $a\ne 1$ và $M=\frac{3}{{{\log }_{a}}3}\left( 1+{{\log }_{a}}3-\frac{{{\log }_{3}}b.{{\log }_{a}}3}{3} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $M={{\log }_{3}}\left( \frac{27{{a}^{3}}}{b} \right)$. B. $M=3{{\log }_{3}}\frac{a}{b}$.
C. $M=3\left( 1+{{\log }_{3}}\frac{a}{b} \right)$. D. $M=2+{{\log }_{3}}\frac{{{a}^{3}}}{b}$.
Câu 30: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[ -1;4 \right]$, $f\left( 4 \right)=2018$, $\int\limits_{-1}^{4}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=2017$. Tính $f\left( -1 \right)$?
A. $f\left( -1 \right)=-1$. B. $f\left( -1 \right)=1$. C. $f\left( -1 \right)=3$. D. $f\left( -1 \right)=2$.
Câu 31: Tìm giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x-1}}+{{2}^{3-x}}$.
A. $1$. B. $4$. C. $8$. D. $2$..
Câu 32: Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là $12$$\text{cm}$. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ.
A. $8\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$. B. $16\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$. C. $32\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$. D. $64\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)$.
Câu 33: Phương trình ${{2017}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}$ có bao nhiêu nghiệm thực trong đoạn $\left[ -5\pi ;2017\pi \right]$?
A. $2017$. B. $2023$. C. $2022$. D. $2018$.
Câu 34: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đồ thị của hàm số luôn có tâm đối xứng. B. Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành.
C. Hàm số luôn có cực trị. D. $\underset{x\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\,\infty $.
Câu 35: Tìm tập nghiệm của bất phương trình ${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{{{x}^{2}}-x}}>{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4-x}}$
A. $\left( -2;+\infty \right)$. B. $\left( 2;+\infty \right)$. C. $\left( -2;2 \right)$. D. $\left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$.
Câu 36: Tìm tát cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}x+m=0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$
A. $m\in \left( 0;\frac{1}{4} \right]$. B. $m\in \left( -\infty ;\frac{1}{4} \right]$. C. $m\in \left( -\infty ;0 \right]$. D. $\left[ \frac{1}{4};+\infty \right)$.
Câu 37: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và đáy bằng ${{60}^{\text{o}}}$. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh $S$, có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng
A. $\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{10}}{8}$. B. $\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}$. C. $\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{4}$. D. $\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{6}$.
Câu 38: Trong không gian tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 0;1;0 \right),$ mặt phẳng $\left( Q \right):x+y-4z-6=0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 3 + t\\
z = 5 - t
\end{array} \right.$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A$, song song với $d$ và vuông góc với $\left( Q \right)$ là : $A,$
A. $3x+y+z-1=0$. B. $3x-y-z+1=0$.
C. $x+3y+z-3=0$. D. $x+y+z-1=0$.
Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{i}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$ là:
A. $\left( -2;1;1 \right)$. B. $\left( 1;1;2 \right)$. C. $\left( -3;0;1 \right)$. D. $\left( -3;0;-1 \right)$.
Câu 40: Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của chúng trong các hàm số sau :
$\left( 1 \right):y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x+4$; $\left( 2 \right):y=\frac{2x-1}{2x+1}$; $\left( 3 \right):y=\sqrt{{{x}^{2}}+4}$
$\left( 4 \right):y={{x}^{3}}+x-\sin x$; $\left( 5 \right):y={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+2$.
A. $5$. B. $2$. C. $4$. D. $3$.
Câu 41: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{\sin }^{3}}x.\cos x$ và $F\left( 0 \right)=\pi $. Tính $F\left( \frac{\pi }{2} \right)$.
A. $F\left( \frac{\pi }{2} \right)=-\pi $. B. $F\left( \frac{\pi }{2} \right)=\pi $. C. $F\left( \frac{\pi }{2} \right)=-\frac{1}{4}+\pi $. D. $F\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{1}{4}+\pi $.
Câu 42: Trong một đa giác lồi $n$ cạnh, số đường chéo của đa giác là.
A. $C_{n}^{2}$. B. $A_{n}^{2}$. C. $A_{n}^{2}-n$. D. $C_{n}^{2}-n$.
Câu 43: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right):\,y=2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+3$ có hệ số góc nhỏ nhất là.
A. $6x+y-5=0$. B. $6x+y+5=0$.
C. $6x-y+3=0$. D. $6x+y-7=0$.
Câu 44: Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a$ và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $60{}^\circ $. Thể tích của khối chóp bằng.
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$. B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$. C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$. D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Câu 45: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$ cắt đường thẳng $y=m-1$ tại ba điểm phân biệt.
A. $0<m<4$. B. $1<m\le 5$. C. $1<m<5$. D. $1\le m<5$.
Câu 46: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+\left( m-2 \right){{x}^{2}}+\left( 2m+3 \right)x+1$. Giá trị nguyên lớn nhất của $m$ để hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ là:
A. $2$. B. $-2$. C. $-1$. D. $1$.
Câu 47: Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\sqrt{2}\,\cos x$ trên đoạn $\left[ 0;\,\frac{\pi }{2} \right]$. Tính $M\,-\,m$ bằng:
A. $\frac{\pi }{4}+1-\sqrt{2}$. B. $\frac{\pi }{2}-\sqrt{2}$. C. $1-\frac{\pi }{4}$. D. $\frac{\pi }{4}-1+\sqrt{2}$.
Câu 48: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-3m \right)x+4$. Tìm tham số $m$ để hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0$.
A. $m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ 3;+\infty \right)$. B. $m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$.
C. $m\in \left[ 0;3 \right]$. D. $m\in \left( 0;3 \right)$.
Câu 49: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $y=\frac{1}{{{5}^{x}}}$. B. $y={{\left( \frac{\pi }{4} \right)}^{x}}$.
C. $y=\frac{1}{{{\left( \sqrt{7}-\sqrt{5} \right)}^{x}}}$. D. $y={{\left( \frac{e}{3} \right)}^{x}}$.
Câu 50: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = - 3 + 2t\\
z = 1 + 3t
\end{array} \right.$. Viết phương trình đường thẳng ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$.
A. $d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = - 3 + 2t\\
z = 1 + 3t
\end{array} \right.$. B. $d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 3 + 2t\\
z = 0
\end{array} \right.$.
C. $d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = - 3 + 2t\\
z = 0
\end{array} \right.$. D. $d':\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 2t\\
z = 0
\end{array} \right.$.
