Câu 1. Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $BCD$ đều cạnh $a$, $AB$ vuông góc với $mp\left( BCD \right)$,$AB=2a$. $M$ là trung điểm đoạn $AD$,gọi $\varphi $ là góc giữa $CM$ với $mp\left( BCD \right)$,khi đó:
A. $\tan \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}$. B. $\tan \varphi = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$ . C. $\tan \varphi =\frac{3\sqrt{2}}{2}$. D. $\tan \varphi =\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Câu 2. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, góc $BAC=60{}^\circ $,$SA$ vuông góc với $mp\left( ABCD \right)$ góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $. Khoảng cách từ $A$ đến $mp\left( SBC \right)$ bằng:
A. $\frac{a\sqrt{2}}{3}$. B. $2a$. C. $\frac{3a}{4}$. D. $a$.
Câu 3. Tính gới hạn $L=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-x}{\sqrt{2-x}-1}$.
A. $L=-6$. B. $L=-4$. C. $L=2$. D. $L=-2$.
Câu 4. Cho hàm số $y=\ln x$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Miền giá trị của hàm số là khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
B. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng khi $x\to {{0}^{+}}$.
C. Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$.
D. Hàm số đồng biến trong khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Câu 5. Thiết diện qua trục của một hình nón $\left( N \right)$ là một tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng $a$, diện tích toàn phần của hình nón $\left( N \right)$ bằng:
A. $\frac{\pi \sqrt{2}{{a}^{2}}}{2}$. B. $\frac{\pi \left( 1+\sqrt{2} \right){{a}^{2}}}{2}$ C. $\frac{\pi \left( 1+\sqrt{3} \right){{a}^{2}}}{2}$. D. $\frac{\pi {{a}^{2}}}{2}$.
Câu 6. Xen giữa số $3$ và số $768$ là $7$ số để được một cấp số nhân có ${{u}_{1}}=3$. Khi đó ${{u}_{5}}$ là:
A. $72$. B. $-48$. C. $\pm 48$. D. $48$.
Câu 7. Số cạnh của hình $12$ mặt đều là:
A. $30$. B. $16$. C. $12$. D. $20$.
Câu 8. Biết rằng hệ số của ${{x}^{4}}$ trong khai triển nhị thức Newton ${{\left( 2-x \right)}^{n}}$, $\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ bằng $280$, tìm $n$ ?
A. $n=8$. B. $n=6$. C. $n=7$. D. $n=5$.
Câu 9. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng $9$. Tính thể tích $V$của khối chóp có thể tích lớn nhất.
A. $576\sqrt{2}$. B. $576$. C. $144\sqrt{2}$. D. $144$.
Câu 10. Giải phương trình $3{{\sin }^{2}}x-2\cos x+2=0$.
A. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. B. $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
C. $x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. D. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Câu 11. Cho hình nón $\left( N \right)$ có đường cao $SO=h$ và bán kính đáy bằng $R$, gọi $M$là điểm trên đoạn $SO$, đặt $OM=x$, $0<x<h$. $\left( C \right)$ là thiết diện của mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với trục $SO$ tại $M$, với hình nón $\left( N \right)$. Tìm $x$ để thể tích khối nón đỉnh $O$ đáy là $\left( C \right)$ lớn nhất.
A.$\frac{h}{2}$ . B. $\frac{h\sqrt{2}}{2}$. C. $\frac{h\sqrt{3}}{2}$. D. $\frac{h}{3}$.
Câu 12. Cho Hình nón $\left( N \right)$ có bán kính đáy bằng $3$ và diện tích xung quanh bằng $15\pi $. Tính thể tích $V$ của khối nón $\left( N \right)$ là:
A. $12\pi $. B. $20\pi $. C. $36\pi $. D. $60\pi $.
Câu 13: Cho bốn hàm số ${{f}_{1}}\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3x+1$, ${{f}_{2}}\left( x \right)=\frac{3x+1}{x-2}$, ${{f}_{3}}\left( x \right)=\cos x+3$ và ${{f}_{4}}\left( x \right)={{\log }_{3}}x$. Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập $\mathbb{R}$?
A. $1$. B. $3$. C. $4$. D. $2$.
Câu 14: Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}-5x \right)$. Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${f}'\left( x \right)=0$.
A. $S=\varnothing $. B. $S=\left\{ \frac{5}{2} \right\}$.
C. $S=\left\{ 0;\,\,5 \right\}$. D. $S=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 5;+\infty \right)$.
Câu 15: Số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${{\left( x-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}$ là:
A. $110$. B. $240$. C. $60$. D. $420$.
Câu 16: Cho $\left( H \right)$ là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Thể tích của $\left( H \right)$ bằng:
A. $\frac{{{a}^{3}}}{2}$. B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$. C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$. D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
Câu 17. Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có $6$ chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị
A. $32$. B. $72$. C. $36$. D. $24$.
Câu 18. Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\frac{2x-1}{x+1}$. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?
A. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
B. Hàm số nghịch biến trên tập $\mathbb{R}$.
C. Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;\,-1 \right)$ và $\left( -1;\,+\infty \right)$.
D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$.
Câu 19. Phương trình $2\cos x-\sqrt{2}=0$ có tất cả các nghiệm là
A. $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\
x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.,\,k \in Z$. B. $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.,\,k \in Z$.
C. $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.,\,k \in Z$. D. $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{7\pi }}{4} + k2\pi \\
x = - \frac{{7\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.,\,k \in Z$.
Câu 20. Khối chóp $O.ABC$ có $OB=OC=a$, $\widehat{AOB}=\widehat{AOC}=45{}^\circ $, $\widehat{BOC}=60{}^\circ $, $OA=a\sqrt{2}$. Khi đó thể tích khối tứ diện $O.ABC$ bằng:
A. $\frac{{{a}^{2}}}{12}$. B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$. C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$. D. $\frac{{{a}^{3}}}{6}$.
Câu 21. Hình trụ bán kính đáy $r$. Gọi $O$ và ${O}'$ là tâm của hai đường tròn đáy với $O{O}'=2r$. Một mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại $O$ và ${O}'$. Gọi ${{V}_{C}}$ và ${{V}_{T}}$ lần lượt là thể tích của khối cầu và khối trụ. Khi đó $\left( -\pi ;\pi \right)$ là
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{3}{4}$. C. $\frac{2}{3}$. D. $\frac{3}{5}$.
Câu 22. Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 1\,\,khi\,\,x \le 1\,\\
x + m\,\,khi\,\,x > 1\,
\end{array} \right.$ liên tục tại điểm ${{x}_{0}}=1$ khi $m$ nhận giá trị
A. $m=-2$. B. $m=2$. C. $m=-1$. D. $m=1$..
Câu 23. Một hộp chứa $20$ viên bi xanh và $15$ viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên $4$bi. Tính xác suất để $4$bi lấy được có đủ hai màu.
A. $\frac{4610}{5236}$. B. $\frac{4615}{5236}$. C. $\frac{4651}{5236}$. D. $\frac{4615}{5236}$.
Câu 24. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\tan x+\sqrt{3}\cot x-\sqrt{3}-1=0$ là:
A. $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.,k \in Z$. B. $\left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.,k \in Z$.
C. $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi
\end{array} \right.,k \in Z$. D. $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.,k \in Z$.
Câu 25: Có $14$ người gồm $8$ nam và $6$ nữ. Số cách chọn $6$ người trong đó có đúng $2$ nữ là
A. $1078$. B. $1414$. C. $1050$. D. $1386$.
Câu 26: Hình trụ có bán kính đáy bằng $a$ và thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh hình trụ đó bằng
A. $\frac{\pi {{a}^{2}}}{2}$. B. $\pi {{a}^{2}}$. C. $3\pi {{a}^{2}}$. D. $4\pi {{a}^{2}}$.
Câu 27: Cho phương trình $\left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{3}}^{2}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\frac{1}{3}}}\frac{1}{x+1}+4m-4=0\,\,\,\,\left( 1 \right)$. Hỏi có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên âm để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm thực trong đoạn $\left[ -\frac{2}{3};\,2 \right]$?
A. $6$. B. $5$. C. $2$. D. $3$.
Câu 28: Cho hai hàm số $y={{e}^{x}}$ và $y=\ln x$. Xét các mệnh đề sau:
$\left( I \right)$. Đồ thị hai hàm số đối xứng qua đường thẳng $y=x$.
$\left( II \right)$. Tập xác định của hai hàm số trên là $\mathbb{R}$.
$\left( III \right)$. Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại đúng một điểm.
$\left( IV \right)$. Hai hàm số đều đồng biến trên tập xác định của nó.
Có bao nhiêu mệnh đề sai trong các mệnh đề trên?
A. $2$. B. $3$. C. $1$. D. $4$.
Câu 29: Xét khối tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB=x$, các cạnh còn lại đều bằng $2\sqrt{3}$. Tìm $x$ để thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $x=\sqrt{6}$. B. $x=\sqrt{14}$. C. $x=3\sqrt{2}$. D. $x=2\sqrt{3}$.
Câu 30: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực trị. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $3$.
C. Hàm số có một điểm cực trị. D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $0$.
Câu 31: Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $SA=2a$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng:
A. $2\pi {{a}^{2}}$. B. $\pi {{a}^{2}}$. C. $3\pi {{a}^{2}}$. D. $6\pi {{a}^{2}}$.
Câu 32: Nghiệm của phương trình: ${{\log }_{2}}\left( 3-2x \right)=3$ là:
A. $x=1$. B. $x=-2$. C. $x=-\frac{5}{2}$. D. $x=-\frac{3}{2}$.
Câu 33: Phương trình $\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$ có tập nghiệm là:
A. $\left\{ -\frac{\pi }{6}+k\pi ;-\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$, với $k\in \mathbb{Z}$. B. $\left\{ -\frac{\pi }{6}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right\}$, với $k\in \mathbb{Z}$.
C. $\left\{ -\frac{\pi }{6}+k2\pi ;-\frac{\pi }{2}+k2\pi \right\}$, với $k\in \mathbb{Z}$. D. $\left\{ \frac{7\pi }{6}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right\}$, với $k\in \mathbb{Z}$.
Câu 34: Cho phương trình ${{25}^{x}}-{{20.5}^{x-1}}+3=0$. Khi đặt $t={{5}^{x}}$, ta được phương trình nào sau đây?
A. ${{t}^{2}}-3=0$. B. ${{t}^{2}}-4t+3=0$. C. ${{t}^{2}}-20t+3=0$. D. $t-20\frac{1}{t}+3=0$.
Câu 35: Số nghiệm của phương trình $\frac{\sin x\sin 2x+2\sin x{{\cos }^{2}}x+\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}=\sqrt{3}\cos 2x$ trong khoảng $\left( -\pi ;\pi \right)$ là:
A. $2$. B. $4$. C. $3$. D. $5$.
Câu 36: Rút gọn biểu thức $P={{x}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[4]{x}$, với $x$ là số thực dương.
A. $P={{x}^{\frac{1}{12}}}$. B. $P={{x}^{\frac{7}{12}}}$. C. $P={{x}^{\frac{2}{3}}}$. D. $P={{x}^{\frac{2}{7}}}$.
Câu 37. Cho hàm số $y=\frac{ax-b}{x-1}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $a<0$; $b<0$. B. $0<b<a$. C. $b<0<a$. D. $a<b<0$.
Câu 38. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=\frac{1}{3}x-5$ và tiếp điểm có hoành độ dương.
A. $y=-3x+10$. B. $y=-3x+2$. C. $y=-3x+6$. D. $y=-3x-2$.
Câu 39. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$, biết ${{u}_{1}}=-5$, $d=2$. Số $81$ là số hạng thứ bao nhiêu?
A. $100$. B. $50$. C. $75$. D. $44$.
Câu 40. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot \left( ABC \right)$, góc giữa $SB$ và $\left( ABC \right)$ là $60{}^\circ $, $\Delta ABC$ đều cạnh $a$. Thể tích khối chóp bằng
A. $a\sqrt{3}$. B. $\frac{{{a}^{3}}}{4}$. C. $\frac{{{a}^{3}}}{2}$. D. ${{a}^{3}}$.
Câu 41: Một người cần đi từ khách sạn $A$ bên bờ biển đến hòn đảo $C$. Biết rằng khoảng cách từ đảo $C$ đến bờ biển là $10\,\text{km}$, khoảng cách từ khách sạn $A$ đến điểm $B$ trên bờ gần đảo $C$ nhất là $40\,\text{km}$. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là $5\,\,\text{USD/km}$, đi đường bộ là $3\,\,\text{USD/km}$. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? ($AB=40\,\text{km}$,$BC=10\,\text{km}$)
A. $10\,\text{km}$. B. $\frac{65}{2}\,\text{km}$. C. $40\,\text{km}$. D. $\frac{15}{2}\,\text{km}$.
Câu 42: Gọi $x$, $y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ${{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+y \right)$ và $\frac{x}{y}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2}$ , với $a$, $b$ là hai số nguyên dương. Tính $P=a.b$.
A. $P=6$. B. $P=5$. C. $P=8$. D. $P=4$.
Câu 43: Lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=a$, biết thể tích của lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=\frac{4{{a}^{3}}}{3}$ .Tính khoảng cách $h$ giữa $AB$ và ${B}'{C}'$.
A. $h=\frac{8a}{3}$. B. $h=\frac{3a}{8}$. C. $h=\frac{2a}{3}$. D. $h=\frac{a}{3}$.
Câu 44: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình $f\left( x \right)={{\log }_{2}}m$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt?
A. $5$. B. $8$. C. $6$. D. $7$.
Câu 45: Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{9}^{x+1}}-20.\,{{3}^{x}}+8=0$. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ?
A. ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{\log }_{3}}\frac{8}{9}$. B. ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{20}{9}$.
C. ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\log }_{3}}\frac{8}{9}$. D. ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{8}{9}$.
Câu 46: Tính đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$.
A. ${y}'=-\frac{2x+1}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}$. B. ${y}'=\frac{2x+1}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}$.
C. ${y}'=\frac{2x+2}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}$. D. ${y}'=\frac{x+1}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}$.
Câu 47: Gọi $A$, $B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x-4$ và $M\left( {{x}_{0}}\,;\,0 \right)$ là điểm trên trục hoành sao cho tam giác $MAB$ có chu vi nhỏ nhất, đặt $T=4{{x}_{0}}+2015$. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng ?
A. $T=2017$. B. $T=2019$. C. $T=2016$. D. $T=2018$.
Câu 48. Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=\frac{3x+2}{-2x+1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ?
A. $1$. B. $0$. C. $3$. D. $2$.
Câu 49. Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{5}}-5{{x}^{3}}-20x+2$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$.
A. $M=26$. B. $M=46$. C. $M=-46$. D. $M=50$.
Câu 50. Cho hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ.
Dấu của $a$,$b$,$c$,$d$ là
A. $a<0$,$b<0$,$c<0$,$d<0$. B. $a<0$,$b<0$,$c>0$,$d<0$.
C. $a<0$,$b>0$,$c<0$,$d<0$. D. $a>0$,$b>0$,$c>0$,$d<0$.
