Đề 20: Tp Huế 2

Câu 1: ( 1,5 điểm)

a) Cho các biểu thức $P\left( x \right)=\dfrac{5x-12\sqrt{x}-32}{x-16}$ và $Q\left( x \right)=x+\sqrt{x}+3.$ Tìm số nguyên ${{x}_{0}}$ sao cho $P\left( {{x}_{0}} \right)$ và $Q\left( {{x}_{0}} \right)$ là các số nguyên, đồng thời $P\left( {{x}_{0}} \right)$ là ước của $Q\left( {{x}_{0}} \right).$

b) Cho $t=\dfrac{x}{{{x}^{2}}-x+1}.$ Tính giá trị biểu thức $A=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}$ theo $t.$

Câu 2: (2,0 điểm)

a) Cho parabol $\left( P \right):y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $d:y=\dfrac{11}{8}x-\dfrac{3}{2}.$ Gọi $A,B$ là các giao điểm của $\left( P \right)$ và $d.$  Tìm tọa độ điểm $C$ trên trục tung sao cho $CA+CB$ có giá trị nhỏ nhất.

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}   & 2{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}-5x+y+2=0 \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y-4=0 \\ \end{align} \right.\)

Câu 3: ( 1,5 điểm)

a) Xác định các giá trị của $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-2mx-6m-9=0$ ($x$ là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{2{{x}_{2}}}=\dfrac{1}{3}.$

b) Giải phương trình $\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}-\sqrt[3]{6x-3}=\sqrt[3]{2}.$

Câu 4: ( 3 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC\left( AB<AC \right)$ nội tiếp đường tròn tâm $O,$ có ba đường cao là $AD,BE,CF$ và trực tâm là $H.$ Gọi $M$ là giao điểm của $AO$ với $BC$ và $P,Q$ lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ $M$ đến $AB,AC.$

a) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF.$

b) Chứng minh $HE.MQ=HF.MP.$

c) Chứng minh $\dfrac{MB}{MC}.\dfrac{DB}{DC}={{\left( \dfrac{AB}{AC} \right)}^{2}}.$

Câu 5: ( 2 điểm)

a) Cho $x,y,z$ là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{16x}+\dfrac{1}{4y}+\dfrac{1}{z}\ge \dfrac{49}{16}.$

b) Cho số tự nhiên $z$ và các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $x+y+xy=1.$  Tìm giá trị của $x,y,z$ sao cho $\left( {{2}^{z+1}}+42 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1+{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right)$ là số chính phương lớn nhất.

HẾT