Đề 2: Tỉnh Nam Định

    Câu 1 (2,0 điểm)

     1) Giải phương trình $(x + 1)(2 - x) = 0$

     2) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ gọi $A, B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\,y =  - 2x + 4\,\,(d)$ với trục $Ox,\,Oy$. Tính diện tích tam giác $OAB$.

     3) Cho tam giác $OAB$ có $AB = 6\,(cm),\,\,AC = 8\,(cm),\,BC = 10\,(cm)$. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

     4) Một hình lăng trụ đứng có chiều cao bằng $8\,cm$ và mặt đáy là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt bằng $5\,(cm),\,12\,(cm)$. Tính thể tích của hình lăng trụ đó.

Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức $P = \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{1 - \sqrt x }}{{x + \sqrt x }}} \right)$, (với $x > 0$ và $x \ne 1$).

    1) Rút gọn biểu thức $P$ .

    2) Tính giá trị của biểu thức $P$ tại $x = \sqrt {2022 + 4\sqrt {2018} }  - \sqrt {2022 - 4\sqrt {2018} } $

Câu 3 (2,5 điểm)

1) Cho phương trình ${x^2} - mx - {m^2} - 4 = 0{\rm{ }}$  (1)(với $m$ là tham số).

    a) Giải phương trình (1) với $m=6$.

    b) Tìm tất cả các giá trị của tham số  $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ sao cho $\left| {{x_1} - {x_2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Giải phương trình $3\sqrt {x + 5}  + 6\sqrt {5 - x}  = 15 - 3x + 4\sqrt {25 - {x^2}} $.

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(O,R)$. Đường tròn $(O,R)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, AB$ lần lượt tại $D, N$. Kẻ đường kính $DI$ của đường tròn (O,R). Tiếp tuyến của đường tròn $(O, R)$ tại $I$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $E, F$.

    1) Chứng minh tứ giác $OIEN$ nội tiếp được trong một đường tròn.

    2) Chứng minh tam giác $BOE$ vuông và $EI.BD = FI.CD = {R^2}$.

   3) Gọi ${A_1}$ là giao điểm của $AO$ với cạnh $BC$, ${B_1}$ là giao điểm của $BO$ với cạnh $AC$, ${C_1}$ là giao điểm của $CO$ với cạnh $AB$ . Chứng minh: $\dfrac{{AO}}{{A{A_1}}} + \dfrac{{BO}}{{B{B_1}}} + \dfrac{{CO}}{{C{C_1}}} = 2$.

Câu 5 (1,0 điểm)

    1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - {y^3} - 6{x^2} + 13x - y = 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
\sqrt {2x + y + 5}  - \sqrt {3 - x - y}  = (2x - 5)y + 2\,\,\,\,\,\,\,(2).
\end{array} \right.\,\,\,$

    2) Cho $a, b,c $ là các số thực dương thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$.

Chứng minh rằng: $2a + b + c \le \dfrac{9}{2}.$

--------- HẾT---------