ĐỀ THI THỬ TOÁN HỌC TUỔI TRẺ
Câu 1. Cho $f$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\sqrt{1+\cos 2x},\forall x\in \mathbb{R}$. Giá trị của tích phân $\int\limits_{-\,\,\frac{3\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}{f\left( x \right)\text{d}x}$ bằng
A. $\sqrt{2}$. B. $2\sqrt{2}$. C. $2\sqrt{2}+1$. D. $2\sqrt{2}-1$.
Câu 2. Cho hình chóp $S.ABC$, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $CA$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $SN$ bằng
A. $\frac{a}{2}$. B. $\frac{a}{\sqrt{17}}$. C. $\frac{a}{17}$. D. $\frac{a}{3}$.
Câu 3. Hàm số $f(x)=\sqrt{3+x}+\sqrt{5-x}-3{{x}^{2}}+6x$ đạt giá trị lớn nhất khi $x$ bằng
A.$-1$ . B.$0$. C.$1$ . D. Một số khác.
Câu4 . Giá trị của giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{9+99+999+...+\overbrace{99...9}^{n}}{{{10}^{n}}}$ bằng
A.$0$ . B.$1$.
C.$\frac{10}{9}$. D.$\frac{10}{81}$.
Câu 5. Cho tứ diện $O.ABC$ có các góc ở đỉnh đều bằng $90{}^\circ $,$OA=a;OB=b;OC=c$. Gọi G là trọng tâm của tứ diện. Tính thể tích khối tứ diện $G.ABC$.
A. $\frac{abc}{6}$. B. $\frac{abc}{8}$.
C. $\frac{abc}{4}$. D. $\frac{abc}{24}$
Câu 6. Một cuộc họp có sự tham gia của $5$ nhà Toán học trong đó có $3$nam, $2$nữ, $6$nhà Vật lý trong đó có $3$ nam, $3$nữ và $7$ nhà Hóa học trong đó có $4$nam và $3$ nữ. Người ta muốn lập một ban thư ký gồm $4$ nhà khoa học với yêu cầu có đủ ba lĩnh vực (Toán, Lý, Hóa) và có cả nam lẫn nữ. Nếu mọi người đều bình đẳng như nhau thì số cách lập một ban thư ký là
A. $1575$. B. $1440$. C. $1404$. D. $175$
Câu 7. Số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{9}}$ bằng
A. 13051 B. 13050 C. 13049. D. 13048.
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Descartes $Oxyz$, cho điểm $M\left( a;b;c \right)$. Gọi $A$, $B$, $C$ theo thứ tự là điểm đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $\left( yOz \right),\left( zOx \right),\left( xOy \right)$. Trọng tâm của tam giác $ABC$ là
A. $G\left( \frac{-a+b+c}{3};\frac{a-b+c}{3};\frac{a+b-c}{3} \right)$ B. $G\left( \frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} \right)$
C. $G\left( \frac{2a}{3};\frac{2b}{3};\frac{2c}{3} \right)$ D. $G\left( \frac{a+b+c}{3};\frac{a+b+c}{3};\frac{a+b+c}{3} \right)$
Câu 12. Cho $\tan x=m$. Giá trị của $\frac{\sin x-\cos x}{2{{\sin }^{3}}x-\cos x}$ bằng
A. $0$. B. $\frac{m}{{{m}^{2}}+1}$.
C. $\frac{{{m}^{2}}-1}{2{{m}^{2}}-m+1}$. D.$\frac{{{m}^{2}}+1}{2{{m}^{2}}+m+1}$.
Câu 13. Số mặt phẳng cách đều các đỉnh của một hình chóp tứ giác là
A. $1$. B. $4$. C. $5$. D. $6$.
Câu 14. Cho tứ diện $SABC$ có trọng tâm $G.$Một mặt phẳng qua $G$ cắt các tia $SA,SB,SC$theo thứ tự tại ${A}',{B}',{C}'.$ Đặt $\frac{S{A}'}{SA}=m,\frac{S{B}'}{SB}=n,\frac{S{C}'}{SC}=p.$ Đẳng thức nào dưới đây đúng?
.
A. $\frac{1}{{{m}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{p}^{2}}}=4$. B. $\frac{1}{mn}+\frac{1}{np}+\frac{1}{pm}=4$.
C. $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}=4$. D. $m+n+p=4$.
Câu 17. Bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{\log }_{4}}x \right)+{{\log }_{4}}\left( {{\log }_{2}}x \right)\le 2$ có tập nghiệm là
A. $\left( \text{1;}\,\text{16} \right]$. B. $\left[ 16;\,+\infty \right)$.
C. $\left( \text{0;}\,\text{16} \right]$. D. $\left( \text{2;}\,\text{16} \right]$.
Câu 18. Cho dãy số$\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn${{\text{u}}_{1}}=1$ và ${{\text{u}}_{n}}={{\text{u}}_{n-1}}+n$ với mọi $n\ge 2$. Khi đó $\underset{{}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n}}}{{{n}^{2}}}$ bằng
A. 0. B. 1. C. 2. D. $\frac{1}{2}$.
Câu 21. Phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{1}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{5}=\frac{z}{-2}$ là
A. $-11x+5y+7z-1=0$. B. $11x-5y-7z+1=0$.
C. $-11x+5y+7z+1=0$. D. $-11x+5y+7z+11=0$.
Câu 22. Cho ${{\log }_{27}}\left| a \right|+{{\log }_{9}}{{b}^{2}}=5$ và ${{\log }_{27}}\left| b \right|+{{\log }_{9}}{{a}^{2}}=7$. Giá trị của $\left| a \right|-\left| b \right|$ bằng
A. $0$. B. $1$. C. $27$. D. $702$.
Câu 23. Điều kiện cần và đủ để ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x+4y-6z+{{m}^{2}}-9m+4=0$ là phương trình của một mặt cầu là
A.$m>0$. B.$m<-1$ hoặc $m>10$.
C.$-1\le m\le 10$. D. $-1<m<10$.
Câu 24. Trên giá sách có $20$ cuốn sách. Số cách lấy ra $3$ cuốn sách sao cho giữa hai cuốn lấy được bất kì luôn có ít nhất hai cuốn không được lấy là
A. $C_{16}^{3}$. B.$A_{16}^{3}$. C.$C_{20}^{3}$. D. $A_{20}^{3}$.
Câu 27. Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}-1}$ . Giá trị của ${{f}^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)$ bằng
A. $0$ . B. $1$ .
C. $\frac{n!\left[ 1+{{\left( -1 \right)}^{n}} \right]}{2}$ . D. $\frac{-n!\left[ 1+{{\left( -1 \right)}^{n}} \right]}{2}$ .
Câu 28. Cho tam giác $ABC$. Tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng thỏa mãn
$\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ là
A. Một đoạn thẳng. B. Một đường thẳng. C. Một đường tròn. D. Một elip.
Câu 29. Số $a>0$ thỏa mãn $\int\limits_{a}^{2}{\frac{1}{{{x}^{3}}+x}dx=\ln 2}$ là
A.$1$. B.$\frac{1}{2}$. C.$2$. D. $\frac{1}{4}$.
Câu 30. Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\frac{m{{x}^{2}}+\left( 4-2m \right)x-6}{2\left( x+9 \right)}$ cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất khi $m$ bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. $\frac{-1}{2}$. C. $2$. D. $1$.
Câu 31. Thể tích khối trụ nội tiếp một mặt cầu có bán kính $R$ không đổi có thể đạt giá trị lớn nhất bằng
A. $\frac{4\pi }{9\sqrt{3}}{{R}^{3}}$. B. $\frac{\pi }{9\sqrt{3}}{{R}^{3}}$.
C. $\frac{2\pi }{9\sqrt{3}}{{R}^{3}}$. D. $\frac{4\sqrt{3}\pi }{9}{{R}^{3}}$.
Câu 32. Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{4}^{x}}}{{{4}^{x}}+2}$ . Giá trị của $f\left( \frac{1}{100} \right)+f\left( \frac{2}{100} \right)+...+f\left( \frac{99}{100} \right)$ bằng
A. $49$. B. $\frac{1}{2}$. C. $\frac{99}{2}$. D. $50$.
Câu 33. Gieo một con súc sắc năm lần liên tiếp. Xác suất để tích các số chấm xuất hiện ở năm lần gieo đó là một số tự nhiên có tận cùng bằng $5$ là
A. $\frac{1}{2}$. B. $\frac{211}{7776}$.
C. $\frac{2}{3}$. D. $\frac{5}{486}$.
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Descartes $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 3;2;1 \right)$ và $B\left( -1;4;-3 \right)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( xOy \right)$ sao cho $\left| MA-MB \right|$ lớn nhất là
A. $M\left( -5;1;0 \right)$. B. $M\left( 5;1;0 \right)$.
C. $M\left( 5;-1;0 \right)$. D. $M\left( -5;-1;0 \right)$.
Câu 35. Hình vuông nội tiếp elip $\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ thì có diện tích bằng
A. $\frac{4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ . B.$\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
C.${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$. D. $\left| ab \right|$ .
Câu 36. Cho $\tan x-\tan y=10$ và $\cot x-\cot y=5$. Giá trị của $\tan \left( x-y \right)$ là
A.$10$. B.$-10$ . C.$-\frac{1}{10}$ . D. $\frac{1}{10}$.
Câu 37. Giá trị của tổng $C_{9}^{9}+C_{10}^{9}+...+C_{99}^{9}$ bằng?
A. $C_{100}^{9}$. B. $C_{99}^{10}$. C. $C_{100}^{10}$. D. ${{2}^{90}}$ .
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Descartes $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ và điểm $A\left( 0;-1;2 \right).$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Phương trình của $\left( P \right)$ là:
A. $y-2z+5=0$. B. $-y+2z+5=0$.
.
C. $y-2z-5=0$. D. $x-y+2z-5=0$.
Câu 41. Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA=a$, $SB=b$, $SC=c$ và $\widehat{BSC}=120{}^\circ $, $\widehat{CSA}=90{}^\circ $, $\widehat{ASB}=60{}^\circ $. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Độ dài đoạn $SG$ bằng
A. $\frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca}$. B. $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab-bc}$.
C. $\frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab-ca}$. D. $\frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab-bc}$.
Câu 42. Kí hiệu $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{2}}+\sqrt{4-{{x}^{2}}}$. Khi đó $M+m$ bằng
A. $\frac{25}{4}$. B. $\frac{1}{4}$.
C. $4$. D. $\frac{15}{4}$.
Câu 43. Kí hiệu $M$ và $m$ theo thứ tự là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y={{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{5}}x$. Khi đó $M-m$ bằng
A. $0$ . B. $1$ . C. $2$ D. $4$.
Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Descartes $Oxy$cho hai điểm $A\left( 1;\,a \right)$ và $B\left( -a;\,2 \right)$. Diện tích tam giác $OAB$ có thể đạt giá trị nhỏ nhất bằng?
A. $0$ . B. $1$. C. $2$ . D. $3$ .
Câu 45. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần là:
A. $A_{10}^{5}$. B. $C_{10}^{5}$.
C. $2C_{9}^{5}+C_{9}^{4}$. D. $2C_{9}^{5}$.
Câu 46. Giả sử $\frac{1+2i}{1-i}$ là một nghiệm (phức) của phương trình $\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx+c=0$ trong đó $\text{a,}b,c$là các số nguyên dương. Thế thì $\text{a}+b+c$ nhỏ nhất bằng:
A. $8$. B. $9$. C. $\text{10}$. D. $\text{11}$.
Câu 47. Điều kiện của tham số $m$ để phương trình ${{8}^{{{\log }_{3}}x}}-3{{x}^{{{\log }_{3}}2}}=m$ có nhiều hơn một nghiệm là
A. $m<-2$. B. $m>2$. C. $-2<m<0$. D. $-2<m<2$.
Câu 48. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y={{x}^{2}}$ và $y=2-\left| x \right|$ là
A. $\frac{5}{2}$. B. $2$. C. $\frac{7}{3}$. D. $\frac{7}{6}$.
Câu 49. Số các giá trị nguyên dương của $k$ thỏa mãn ${{2}^{k}}$có $100$ chữ số khi viết trong hệ thập phân là
A. $10$. B. $6$. C. $4$. D. $5$.
Câu 50. Giá trị của giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( {{3}^{x}}-1 \right)...\left( {{n}^{x}}-1 \right)}{{{x}^{n-1}}}$ bằng
A. $\ln \left( n! \right)$. B. $\ln 2\ln 3...\ln n$.
C. $n!$. D. $2+3+...+n$.
