Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{x+1}{2-x}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
C. Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Câu 2. Phần thực và phần ảo của số phức $z=\left( 1+2i \right)i$ lần lượt là
A. $1$ và $2$. B. $-2$ và $1$. C. $1$ và $-2$. D. $2$ và $1$.
Câu 3. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị (như hình dưới). Khi đó $f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng :
A. $\left( -\infty ;\,-1 \right)$,$\left( 1;\,+\infty \right)$ . B. $\left( -\infty ;\,-1 \right)$, $\left( -1;\,0 \right)$.
C. $\left( -1;\,0 \right)$, $\left( 1;\,+\infty \right)$. D. $\left( -1;\,0 \right)$, $\left( 0;\,1 \right)$.
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $y={{x}^{2}}-3x+\frac{1}{x}$là
A. $\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{3{{x}^{2}}}{2}-\ln \left| x \right|+C$. B. $\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{3{{x}^{2}}}{2}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+C$.
C. $\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{3{{x}^{2}}}{2}+\ln x+C$. D. $\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{3{{x}^{2}}}{2}+\ln \left| x \right|+C$.
Câu 5. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$là:
A. $1$. B. $2$. C. $4$. D. $3$
Câu 6. Tập nghiệm của phương trình $\log \left( {{x}^{2}}-x-6 \right)+x=\log \left( x+2 \right)+4$là:
A. $\left\{ 1 \right\}$. B. $\left\{ 4 \right\}$. C. $\left\{ 3 \right\}$. D. $\left\{ 2 \right\}$.
Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh.
B. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn luôn bằng nhau.
C. Tồn tại hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau.
D. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau.
Câu 8. Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-4$ có bao nhiêu cực trị?
A. $1$. B. $2$. C. $0$. D. $3$.
Câu 9. Gọi ${{z}_{1}}$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình ${{z}^{2}}+2z+3=0$. Tọa độ điểm $M$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là:
A. $M\left( -1\,;\,-\sqrt{2} \right)$. B. $M\left( -1\,;\,2 \right)$. C. $M\left( -1\,;\,-2 \right)$. D. $M\left( -1\,;\,-\sqrt{2}i \right)$.
Câu 10. Trong các hàm số sau:
(I) $f\left( x \right)={{\tan }^{2}}x+2$.
(II) $f\left( x \right)=\frac{2}{{{\cos }^{2}}x}$.
(III) $f\left( x \right)={{\tan }^{2}}x+1$.
Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số $g\left( x \right)=\tan x$ ?
A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (II), (III). D. (I), (II), (III).
Câu 11. Cho phương trình ${{3}^{x}}=m+1$. Chọn phát biểu đúng:
A. Phương trình có nghiệm dương nếu $m>0$.
B. Phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.
C. Phương trình luôn có nghiệm duy nhất $x={{\log }_{3}}\left( m+1 \right)$.
D. Phương trình có nghiệm với $m\ge -1$.
Câu 12. Điểm biểu diễn của các số phức $z=7+bi$ với $b\in \mathbb{R}$ nằm trên đường thẳng có phương trình là:
A. $y=7$. B. $x=7$. C. $y=x+7$. D. $y=x$.
Câu 13. Hàm số $y={{\left( 4{{x}^{2}}-1 \right)}^{-4}}$ có tập xác định là:
A. $\left( 0;+\infty \right]$. B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right\}$. C. $\mathbb{R}$. D. $\left( -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)$.
Câu 14. Gọi $\left( x;y \right)$ là nghiệm nguyên của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{y^{5{x^2} - 51x + 10}} = 1\\
xy = 15
\end{array} \right.$. Khi đó $x+y$ bằng
A. $16$. B. $75$. C. $\frac{23}{2}$. D. $-14$.
Câu 15. Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ có đồ thị $\left( H \right)$. Tiếp tuyến của $\left( H \right)$ tại giao điểm của $\left( H \right)$ với trục hoành có phương trình là:
A. $y=3x$. B. $y=x-3$. C. $y=3x-3$. D. $y=\frac{1}{3}\left( x-1 \right)$.
Câu 16. Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=-{{x}^{2}}+2x$, trục hoành. Quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là:
A. $\frac{496\pi }{15}$. B. $\frac{32\pi }{15}$. C. $\frac{4\pi }{3}$. D. $\frac{16\pi }{15}$.
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\,\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-1}$ và ${{d}_{2}}:\,\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-5}{3}$. Phương trình mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là:
A. $5x-4y-z-16=0$. B. $5x-4y+z+16=0$.
C. $5x-4y+z-16=0$. D. $5x+4y+z-16=0$.
Câu 18. Phương trình ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}+{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=m$ có nghiệm khi:
A. $m\in \left( -\infty ;\,5 \right)$. B. $m\in \left( 2;\,+\infty \right)$. C. $m\in \left( -\infty ;\,5 \right]$. D. $m\in \left[ 2;\,+\infty \right)$.
Câu 19. Số nghiệm của phương trình ${{3}^{x}}-{{3}^{1-x}}=2$ là:
A. $3$ . B. $1$. C. $2$. D. $0$.
Câu 20. Tích các nghiệm của phương trình ${{\log }_{x}}\left( 125x \right)\log _{25}^{2}x=1$ bằng
A. $\frac{7}{25}$. B. $\frac{630}{625}$. C. $\frac{1}{125}$. D. $630$.
Câu 21. Phương trình ${{9}^{x}}-{{3.3}^{x}}+2=0$có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$với ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$. Giá trị của $2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}$ là:
A. $3{{\log }_{3}}2$. B. $1$. C. $4{{\log }_{3}}2$. D. $2{{\log }_{2}}3$.
Câu 22. Cho số phức thỏa $\left| z \right|=3$. Biết rằng tập hợp số phức $w=\overline{z}+i$ là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó.
A. $I\left( 0;1 \right)$. B. $I\left( 0;-1 \right)$. C. $I\left( -1;0 \right)$. D. $I\left( 1;0 \right)$.
Câu 23. Giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{3}}-3x=2m+1$ có ba nghiệm phân biệt là:
A. $-\frac{3}{2}<m<\frac{1}{2}$. B. $-2<m<2$. C. $-\frac{3}{2}\le m\le \frac{1}{2}$. D. $-2\le m\le 2$.
Câu 24. Cho số phức $z$ thỏa mãn: $\overline{z}=\frac{{{\left( 1+\sqrt{3}i \right)}^{3}}}{1-i}$. Tìm môđun của $\overline{z}+iz$.
A. $4\sqrt{2}$. B. $4$. C. $8\sqrt{2}$. D. $8$.
Câu 25. Cho $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3}$. Khi đó $J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]\text{d}x}$ bằng:
A. $2$. B. $6$. C. $8$. D. $4$.
Câu 26. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=\frac{1}{2}AD=a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ACD$.
A. ${{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}}{2}$. B. ${{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}}{3}$. C. ${{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$. D. ${{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $M\left( 1;\,2;\ 1 \right)$, $N\left( 0;\ 1;\ 3 \right)$. Phương trình đường thẳng qua hai điểm $M$, $N$ là
A. $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{2}$. B. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-2}{1}$.
C. $\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{2}$. D. $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{1}$.
Câu 28. Phương trình ${{\log }_{x}}2+{{\log }_{2}}x=\frac{5}{2}$
A. Có hai nghiệm dương. B. Vô nghiệm.
C. Có một nghiệm âm. D. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương.
Câu 29. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left( 1+i \right)\left( z-i \right)+2z=2i$. Môđun của số phức $w=\frac{\overline{z}-2z+1}{{{z}^{2}}}$ là:
A. $\sqrt{10}$. B. $\sqrt{8}$. C. $-\sqrt{10}$. D. $-\sqrt{8}$.
Câu 30. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$. Mặt phẳng chứa $AB$ và đi qua $G$ cắt các cạnh $SC$, $SD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Biết mặt bên của hình chóp tạo với đáy một góc bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABMN$ bằng:
A. ${{a}^{3}}\frac{\sqrt{3}}{4}$. B. ${{a}^{3}}\frac{\sqrt{3}}{8}$. C. ${{a}^{3}}\frac{\sqrt{3}}{16}$. D. $3{{a}^{3}}\frac{\sqrt{3}}{16}$.
Câu 31. Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y={{x}^{2}}$, $y=2x$. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$ bằng:
A. $\frac{32\pi }{15}$. B. $\frac{64\pi }{15}$. C. $\frac{21\pi }{15}$. D. $\frac{16\pi }{15}$.
Câu 32. Khối cầu nội tiếp hình tứ diện đều có cạnh bằng $a$ thì thể tích khối cầu là:
A. $\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{6}}{216}$. B. $\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{144}$. C. $\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{96}$. D. $\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{6}}{124}$.
Câu 33. Giá trị nào của $m$ để phương trình $\log _{3}^{2}x+\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}-2m-1=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1\,;\,\,{{3}^{\sqrt{3}}} \right]$.
A. $1 \le m \le 16$. B. $4 \le m \le 8$. C. $3 \le m \le 8$. D. $0 \le m \le 2$.
Câu 34. Số tiền mà An để dành hàng ngày là $x$ (đơn vị nghìn đồng, với $Q\left( -2;\,3;\,5 \right)$, $x\in \mathbb{Z}$) biết $x$ là nghiệm của phương trình ${{\log }_{\sqrt{3}}}\left( x-2 \right)+{{\log }_{3}}{{\left( x-4 \right)}^{2}}=0$. Tổng số tiền mà An để dành được sau $1$ tuần ($7$ ngày) là:
A. $7$. B. $21$. C. $24$. D. $14$.
Câu 35. Cho điểm $M\left( 2;1;0 \right)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M$, cắt và vuông góc với $\Delta $. Vectơ chỉ phương của $d$ là:
A. $\overrightarrow{u}=\left( -3;\,0;\,2 \right)$. B. $\overrightarrow{u}=\left( 0;\,3;\,1 \right)$. C. $\overrightarrow{u}=\left( 2;\,-1;\,2 \right)$. D. $\overrightarrow{u}=\left( 1;\,-4;\,-2 \right)$.
Câu 36. Cho lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy $ACBD$ là hình thoi cạnh $a$ , biết ${A}'.ABC$ là hình chóp đều và ${A}'D$ hợp với mặt đáy một góc $45{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$là :
A. ${{a}^{3}}$. B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$. C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$. D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
Câu 37. Cho đường cong $\left( C \right):y=\frac{2x+3}{x-1}$ và $M$ là một điểm nằm trên $\left( C \right)$. Giả sử ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$ tương ứng là các khoảng cách từ $M$ đến hai tiệm cận của $\left( C \right)$, khi đó ${{d}_{1}}.{{d}_{2}}$ bằng:
A. $3$. B. $4$. C. $5$. D. $6$.
Câu 38. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là $2,25$mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là $3$ mét. Giá thuê mỗi mét vuông là $1500000$ đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là:
A. $33750000$ đồng. B. $3750000$ đồng. C. $12750000$ đồng. D. $6750000$ đồng.
Câu 39. Cho hàm số $y=\frac{x+\sqrt{4{{x}^{2}}-3}}{2x+3}$$\left( C \right)$. Gọi $m$ là số tiệm cận của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ và $n$ là giá trị của hàm số $\left( C \right)$ tại $x=1$ thì tích $m.n$ là:
A. $\frac{6}{5}$. B. $\frac{14}{5}$. C. $\frac{3}{5}$. D. $\frac{2}{15}$.
Câu40. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $SA\bot \left( ABC \right)$, $SA=\sqrt{3}\text{ cm}$, $AB=1\text{ cm}$, $BC=\sqrt{2}\text{ cm}$. Mặt bên $\left( SBC \right)$ hợp với đáy một góc bằng:
A. $30{}^\circ $. B. $90{}^\circ $. C. $60{}^\circ $. D. $45{}^\circ $.
Câu 41. Giả sử $A$, $B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ và đường thẳng $AB$ đi qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=abc+ab+c$.
A. $-\frac{16}{25}$. B. $-9$. C. $-\frac{25}{9}$. D. $1$.
Câu 42. Cho $z$ là số phức có mô-đun bằng $2017$ và $w$ là số phức thỏa mãn $\frac{1}{z}+\frac{1}{w}=\frac{1}{z+w}$. Mô đun của số phức $w$ là:
A. $2015$. B. $0$. C. $1$. D. $2017$.
Câu 43. Trong các nghiệm $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bất phương trình ${{\log }_{{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}}\left( 2x+y \right)\ge 1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2x+y$ bằng:
A. $\frac{9}{4}$. B. $\frac{9}{2}$. C. $\frac{9}{8}$. D. $9$.
Câu 44. Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính $50\ \text{cm}$. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là:
A. $10\sqrt{2}\left( \text{cm} \right)$. B. $50\sqrt{2}\left( \text{cm} \right)$. C. $20\left( \text{cm} \right)$. D. $25\left( \text{cm} \right)$.
Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ và hai điểm $A\left( 2;0;3 \right)$, $B\left( 2;-2;-3 \right)$. Biết điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ thuộc $d$ thỏa mãn $M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}$ nhỏ nhất. Tìm ${{x}_{0}}$.
A. ${{x}_{0}}=1$. B. ${{x}_{0}}=3$. C. ${{x}_{0}}=0$. D. ${{x}_{0}}=2$.
Câu 46. Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực thỏa mãn ${{2}^{x}}={{3}^{y}}={{6}^{-z}}.$ Giá trị của biểu thức $M=xy+yz+xz$ là:
A. $0.$ B. $6.$ C. $3.$ D. $1.$
Câu 47. Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-2-2i \right|=2$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z-1-i \right|+\left| z-5-2i \right|$ bằng
A. $1+\sqrt{10}$. B. $4$. C. $\sqrt{17}$ D. $5$.
Câu 48. Trong không gian $Oxyz$, cho tám điểm $A\left( -2;\,\,-2;\,\,0 \right)$, $B\left( 3;\,\,-2;\,\,0 \right)$, $C\left( 3;\,\,3;\,\,0 \right)$, $D\left( -2;\,\,3;\,\,0 \right)$, $M\left( -2;\,\,-2;\,\,5 \right)$, $N\left( 3;\,3;\,5 \right)$, $P\left( 3;\,-2;\,5 \right)$, $Q\left( -2;\,3;\,5 \right)$. Hình đa diện tạo bởi tám điểm đã cho có bao nhiêu mặt đối xứng?
A. $3$. B. $9$. C. $8$. D. $6$.
Câu 49. Hai điểm $M$ ; $N$ lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y=\frac{3x-1}{x-3}$. Khi đó độ dài đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất bằng:
A. $8\sqrt{2}$. B. $2017$. C. $8$. D. $4$.
Câu 50. Tìm $m$ để tồn tại duy nhất cặp $\left( x;\,y \right)$ thỏa mãn ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-4 \right)\ge 1$
và ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+2-m=0$.
A. ${{\left( \sqrt{10}-\sqrt{2} \right)}^{2}}$. B. $\sqrt{10}-\sqrt{2}$ và $\sqrt{10}+\sqrt{2}$.
C. ${{\left( \sqrt{10}-\sqrt{2} \right)}^{2}}$ và ${{\left( \sqrt{10}+\sqrt{2} \right)}^{2}}$. D. $\sqrt{10}-\sqrt{2}$.
