Đề 12: Tỉnh Hà Nam

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức

$Q=\left( \dfrac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\dfrac{1-a}{\sqrt{1-{{a}^{2}}}-1+a} \right)\left( \sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-1}-\dfrac{1}{a} \right)\sqrt{{{a}^{2}}-2a+1}$(với $0<a<1$).

            1) Rút gọn $Q.$

            2) So sánh $Q$ và ${{Q}^{3}}.$

Câu 2. (2,0 điểm)

            1) Giải phương trình $\left( \sqrt{x+9}-3 \right)\left( \sqrt{9-x}+3 \right)=2x.$

            2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) có phương trình $y={{x}^{2}}$ và  hai đường thẳng (d):$y=m$; (d’): $y={{m}^{2}}$ (với $0<m<1$). Đường thẳng (d) cắt  Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B; đường thẳng (d’) cắt  Parabol (P) tại hai điểm phân biệt C, D (với hoành độ điểm A và D là số âm). Tìm $m$ sao cho diện tích hình thang ABCD gấp 9 lần diện tích tam giác OCD.

Câu 3. (1,0 điểm)

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn ${{7}^{x}}={{3.2}^{y}}+1$. 

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho đường tròn $(O)$ và đường thẳng d cố định ((O) và d không có điểm chung). Điểm P di động trên đường thẳng d. Từ điểm P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B thuộc đường tròn $(O)$). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC,  E là giao điểm của hai đường thẳng CP và AH. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng CP và đường tròn $(O)$.   

            1) Chứng minh  E là trung điểm của đoạn thẳng AH.

            2) Vẽ dây cung CN của đường tròn $(O)$ sao cho CN song song  với AB. Gọi I  là giao của hai đường thẳng NF và AB. Chứng minh $\dfrac{IF}{IB}=\dfrac{AF}{AC}$ và $IA=IB.$

            3) Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường cố định khi P di động trên  d.

Câu 5. (1,0 điểm)

Một học sinh chấm tùy ý 6 điểm phân biệt vào trong hình tròn bán kính bằng 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm A, B trong 6 điểm đã cho thỏa mãn $AB\le 1.$

Câu 6. (1,0 điểm)

            Cho các số thực dương $x,\,y,\,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx\ge x+y+z.$

Chứng minh rằng  $\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{3}}+8}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{\sqrt{{{y}^{3}}+8}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{\sqrt{{{z}^{3}}+8}}\ge 1.$

--- HẾT ---