HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Giải phương trình sau:
a) $5\left( x-3 \right)+3\left( x+5 \right)=7x-13$
b) $\dfrac{2x-4}{x-3}+\dfrac{6}{3x-{{x}^{2}}}=\dfrac{x-1}{x}$
c) $\left( x-2 \right)\left( 2x-5 \right)={{x}^{2}}-2x$
Lời giải
a) $5\left( x-3 \right)+3\left( x+5 \right)=7x-13$
$\Leftrightarrow 5x-15+3x+15=7x-13$
$\Leftrightarrow x=-13$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ -13 \right\}$
b) $\dfrac{2x-4}{x-3}+\dfrac{6}{3x-{{x}^{2}}}=\dfrac{x-1}{x}$ điều kiện $x\ne 3$; $x\ne 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{x\left( 2x-4 \right)}{x\left( x-3 \right)}-\dfrac{6}{x\left( x-3 \right)}=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)}{x\left( x-3 \right)}$
$\Rightarrow 2{{x}^{2}}-4x-6={{x}^{2}}-x-3x+3$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9$
$\Leftrightarrow x=3\,$(loại) hoặc $x=-3$(nhận)
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ -3 \right\}$
c) $\left( x-2 \right)\left( 2x-5 \right)={{x}^{2}}-2x$
$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 2x-5 \right)-x\left( x-2 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 2x-5-x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( x-5 \right)=0$
$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=5$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ 2;5 \right\}$
Bài 2. Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
a) $4\left( x+2 \right)-1>2\left( x+3 \right)$
b) $\dfrac{7\left( 2-x \right)}{6}-2\ge \dfrac{2\left( x-1 \right)}{3}$
Lời giải
a) $4\left( x+2 \right)-1>2\left( x+3 \right)$
$\Leftrightarrow 4x+8-1>2x+6$
$\Leftrightarrow 2x>-1$
$\Leftrightarrow x>\dfrac{-1}{2}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left\{ x/x>\dfrac{-1}{2} \right\}$
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình
b) $\dfrac{7\left( 2-x \right)}{6}-2\ge \dfrac{2\left( x-1 \right)}{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{7(2-x)}{6}-\dfrac{12}{6}\ge \dfrac{4(x-1)}{6}$
$\Leftrightarrow 14-7x-12\ge 4x-4$
$\Leftrightarrow -11x\ge -6$
$\Leftrightarrow x\le \dfrac{6}{11}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left\{ x/x\le \dfrac{6}{11} \right\}$
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình
Bài 3. Một người công nhân phải sản xuất một số khẩu trang trong một thời gian nhất định. Theo kế hoạch mỗi ngày người công nhân đó phải hoàn thành 80 chiếc. Vì dịch Covid-19 xảy ra nên số lượng khẩu trang khan hiếm do đó công ty yêu cầu cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày người công nhân đó làm được nhiều hơn kế hoạch là 10 chiếc khẩu trang. Vì vậy, chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 2 ngày mà còn vượt mức 10 chiếc khẩu trang. Hỏi theo kế hoạch, người công nhân đó phải làm bao nhiêu chiếc khẩu trang?
Lời giải
Gọi $x$ là số chiếc khẩu trang theo kế hoạch $\left( x>80,x\in N \right)$
Số ngày người công nhân hoàn thành số chiếc khẩu trang theo kế hoạch là: $\dfrac{x}{80}$(ngày)
Do cải tiến kỹ thuật nên số khẩu trang sản xuất trong 1 ngày là: $80+10=90$ ( chiếc)
Số ngày người công nhân hoàn thành số chiếc khẩu trang theo thực tế là: $\dfrac{x+10}{90}$(ngày)
Do cải tiến kế hoạch số khẩu trang thực tế vượt 10 chiếc khẩu trang nên ta có phương trình:
$\dfrac{x}{80}-\dfrac{x+10}{90}=2$
$\Leftrightarrow 9x-8x-80=1440$
$\Leftrightarrow x=1520$ (tm )
Vậy: Theo kế hoạch người công nhân phải hoàn thành 1520 chiếc khẩu trang.
Bài 4. Cho tam giác nhọn $ABC\,\,\,\left( AB<AC \right)$, hai đường cao $BD$ và $CE\,\,(E~\in AB,\text{ }D~\,\in AC)$.
a) Chứng minh: $\Delta ABD$ đồng dạng với $\Delta ACE$;
b) Chứng minh: $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta ADE$ từ đó suy ra:$AD.BC=AB.DE$;
c) Gọi giao điểm của $BD$ và $CE$ là $H$. Chứng minh $BH.BD\text{ }+\text{ }CH.CE\text{ }=\text{ }B{{C}^{2}}$.
Lời giải
a) Xét $\Delta ABD\text{ }v\grave{a}\text{ }\Delta ACE$ có:
$\widehat{A\,\,}\,$chung
$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90{}^\circ $(gt)
$\Rightarrow $$$ $\Delta ABD\backsim \Delta ACE$ (g.g) (đpcm)
$\Rightarrow $$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$(2 cạnh tương ứng) $\Rightarrow $$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$( tính chất tỉ lệ thức )
b) Xét $\Delta ABC\text{ }v\grave{a}\text{ }\Delta ADE$ có:
$\widehat{A\,\,}\,$chung
$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$(cmt)
$\Rightarrow $$\Delta ABC\backsim \Delta ADE$ (c.g.c)
$\Rightarrow $$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}\Leftrightarrow AD.BC=AB.DE$ (đpcm)
c)
+) Xét $\Delta ABC$có :
$CE\bot AB\left( gt \right)$
$BD\bot AC\left( gt \right)$
$BD$ cắt $CE$ tại $H$
$\Rightarrow H$là trực tâm tam giác $\Delta ABC$
Gọi giao điểm của $AH$và $BC$ là $I$.
$\Rightarrow AI\bot BC$
+) Xét $\Delta BDC$và $\Delta BIH$có :
$\widehat{I}=\widehat{D}={{90}^{0}}$
${\widehat{B}}$chung
$\Rightarrow \Delta BDC\sim \Delta BIH\left( g-g \right)$
$\Rightarrow \dfrac{BD}{BI}=\dfrac{BC}{BH}$
$\Rightarrow BD.BH=BI.BC$
+) Xét $\Delta BEC$và $\Delta HIC$có :
$\widehat{I}=\widehat{E}={{90}^{0}}$
$\widehat{C}$ chung
$\Rightarrow \Delta BEC\sim \Delta HIC\left( g-g \right)$
$\Rightarrow \dfrac{EC}{IC}=\dfrac{BC}{HC}$
$\Rightarrow EC.HC=IC.BC$
Ta có : $BD.BH+EC.HC=BI.BC+IC.BC=\left( BI+IC \right).BC=B{{C}^{2}}$(đpcm)
Bài 5. Cho $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}$
Lời giải
Ta có: $P=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}=a-\dfrac{{{a}^{2}}}{a+1}+b-\dfrac{{{b}^{2}}}{b+1}+c-\dfrac{{{c}^{2}}}{c+1}$
$P=\left( a+b+c \right)-\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{a+1}+\dfrac{{{b}^{2}}}{b+1}+\dfrac{{{c}^{2}}}{c+1} \right)=1-\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{a+1}+\dfrac{{{b}^{2}}}{b+1}+\dfrac{{{c}^{2}}}{c+1} \right)$
$P=\left( a+b+c \right)-\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{a+1}+\dfrac{{{b}^{2}}}{b+1}+\dfrac{{{c}^{2}}}{c+1} \right)=1-\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{a+1}+\dfrac{{{b}^{2}}}{b+1}+\dfrac{{{c}^{2}}}{c+1} \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
$\Rightarrow P\le \dfrac{3}{4}$
Vậy Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\dfrac{3}{4}$
Khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
