Bài 1. Cho 2 biểu thức $A=\dfrac{x-3}{x}$ và $B=\dfrac{x}{{{x}^{2}}-9}+\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+3}$. ĐKXĐ: $x\ne 0;\,x\ne \pm 3$
a) Tính giá trị của $A$ khi $\left| 2x-1 \right|=1$
b) Rút gọn biểu thức $P=A.B$
c) Tìm số nguyên $x$ lớn nhất để $P=A.B$ nhận giá trị âm.
Lời giải
a) ĐKXĐ: $x\ne 0;\,x\ne \pm 3$
Ta có :
Thay $x=1$ vào biểu thức $A$ ta được:
$A=\dfrac{1-3}{1}=-2$
Vậy giá trị của $A=-2$ khi $\left| 2x-1 \right|=1$.
b) Với $x\ne 0;\,x\ne \pm 3$ ta có:
$P=A.B$$=\dfrac{x-3}{x}.\left( \dfrac{x}{{{x}^{2}}-9}+\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+3} \right)$
$=\dfrac{x-3}{x}.\left[ \dfrac{x}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}+\dfrac{x+3}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}+\dfrac{x-3}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)} \right]$
$=\dfrac{x-3}{x}.\dfrac{3x}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}$
$=\dfrac{3}{x+3}$
c) Với $x\ne 0;\,x\ne \pm 3$ ta có:
$P=A.B$ nhận giá trị âm$\Leftrightarrow \dfrac{3}{x+3}<0$$\Leftrightarrow x+3<0$$\Leftrightarrow x<-3$
Mà $x$là số nguyên lớn nhất $\Leftrightarrow x=-4$ (thỏa mãn điều kiện $x\ne 0;\,x\ne \pm 3$)
Vậy $x=-4$ thì $P=A.B$ nhận giá trị âm
Bài 2. 1. Giải các phương trình:
a) $\left| 2x+5 \right|=7x+4$
b) $\dfrac{x}{3x-2}-\dfrac{x}{2+3x}=\dfrac{6{{x}^{2}}}{9{{x}^{2}}-4}$
2. Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
$\dfrac{x+2}{4}-\dfrac{x}{3}\ge \dfrac{4x-3}{6}+2$
Lời giải
1. Giải các phương trình:
a) $\left| 2x+5 \right|=7x+4$
Ta có: $\left| 2x+5 \right|=2x+5$nếu $2x+5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \dfrac{-5}{2}$
Ta có: $\left| 2x+5 \right|=-\,2x-5$nếu $2x+5<0\Leftrightarrow x<\dfrac{-5}{2}$
Với $x\ge \dfrac{-5}{2}$ khi đó phương trình đã cho trở thành:
$2x+5=7x+4$$\Leftrightarrow -5x=-1$$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}\,(tm)$
Với $x<\dfrac{-5}{2}$ khi đó phương trình đã cho trở thành:
$-2x-5=7x+4$$\Leftrightarrow 9x=-9$$\Leftrightarrow x=-1\,(ktm)$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: $S=\{\dfrac{1}{5}\}$.
b) $\dfrac{x}{3x-2}-\dfrac{x}{2+3x}=\dfrac{6{{x}^{2}}}{9{{x}^{2}}-4}$
Đkxđ: $x\ne \pm \dfrac{2}{3}$
$\dfrac{x}{3x-2}-\dfrac{x}{2+3x}=\dfrac{6{{x}^{2}}}{9{{x}^{2}}-4}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x\left( 3x+2 \right)}{\left( 3x+2 \right)\left( 3x-2 \right)}-\dfrac{x\left( 3x-2 \right)}{\left( 3x+2 \right)\left( 3x-2 \right)}=\dfrac{6{{x}^{2}}}{\left( 3x+2 \right)\left( 3x-2 \right)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3{{x}^{2}}+2x}{\left( 3x+2 \right)\left( 3x-2 \right)}-\dfrac{3{{x}^{2}}-2x}{\left( 3x+2 \right)\left( 3x-2 \right)}=\dfrac{6{{x}^{2}}}{\left( 3x+2 \right)\left( 3x-2 \right)}$
$\Rightarrow 3{{x}^{2}}+2x-3{{x}^{2}}+2x=6{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-4x=0$
$\Leftrightarrow 2x\left( 3x-2 \right)=0$
Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\{0\}$.
2. Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
$\dfrac{x+2}{4}-\dfrac{x}{3}\ge \dfrac{4x-3}{6}+2$
$\Leftrightarrow \dfrac{3\left( x+2 \right)}{12}-\dfrac{4x}{12}\ge \dfrac{2\left( 4x-3 \right)}{12}+\dfrac{24}{12}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3x+6-4x}{12}\ge \dfrac{8x-6+24}{12}$
$\Leftrightarrow -x+6\ge 8x+18$
$\Leftrightarrow 9x\,\le \,-12$
$\Leftrightarrow x\le \dfrac{-4}{3}$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{ x/x\le \dfrac{-4}{3} \right\}$
Biểu diễn tập nghiệm trên trục số là:
Bài 3. 1. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Trong đợt dịch Covid 19 một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất $50$ dụng cụ y tế. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ sản xuất được hơn so với dự định là $7$ dụng cụ. Do đó, tổ sản xuất đã hoàn thành trước kế hoạch một ngày và còn làm thêm được $13$ dụng cụ y tế. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu dụng cụ y tế?
Một bể cá mini có dạng hình hộp chữ nhật (như hình vẽ) với chiều cao $8\,\text{dm}$, chiều rộng $3\,\text{dm}$ và chiều dài $5\,\text{dm}$. Người ta đổ vào bể cá $75\,\text{d}{{\text{m}}^{\text{3}}}$ nước.
a) Hỏi chiều cao của khối nước trong bể cá là bao nhiêu?
b) Thể tích phần bể cá không chứa nước.
(Lưu ý: Bể chưa thả cá và để đồ tranh trí)
Lời giải
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Gọi số dụng cụ mà tổ sản xuất theo kế hoạch là $x$(dụng cụ) . ĐK: $x\,\in N*$.
Số dụng cụ mà tổ sản xuất trên thực tế là $x+13$(dụng cụ) .
Theo kế hoạch, số ngày cần hoàn thành là: $\dfrac{x}{50}$(ngày).
Theo thực tế, số ngày hoàn thành là:$\dfrac{x+13}{57}$(ngày).
Theo giả thiết, tổ sản xuất đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:
$\dfrac{x}{50}-\dfrac{x+13}{57}=1$
$\Leftrightarrow 57x-50x-650=2850$
$\Leftrightarrow 7x=3500$
$\Leftrightarrow x=500$(TMĐK)
Vậy theo kế hoạch tổ phải sản xuất $500$ dụng cụ y tế.
2)
a) Diện tích đáy bể là:
$S=3\times 5=15\,\,\left( \text{d}{{\text{m}}^{\text{2}}} \right)$
Chiều cao của khối nước trong bể cá là:
${{V}_{1}}=S.{{h}_{1}}\Rightarrow {{h}_{1}}=\dfrac{{{V}_{1}}}{S}=\dfrac{75}{15}=5\,\left( \text{dm} \right)$
b) Thể tích bể cá là:
$V=8.5.3=120\,\left( \text{d}{{\text{m}}^{3}} \right)$
Phần thể tích bể cá không chứa nước là:
$120-75=55\,\left( \text{d}{{\text{m}}^{3}} \right)$
Bài 4. Cho tam giác${ABC}$vuông tại${A(AB<AC).}$ Vẽ đường cao${AH}$(${H}$ thuộc ${BC).}$
a) Chứng minh $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta HBA$.
b) Gọi ${D}$ là điểm đối xứng với ${B}$ qua ${H.}$ Từ ${C}$ kẻ đường thẳng vuông góc với tia $AD$cắt tia ${AD}$ tại${E.}$ ${AH}$ cắt ${CE}$ tại $F$. Chứng minh tứ giác${ABFD}$là hình thoi và $\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{CE}{CF}$.
c) Tia ${FD}$ cắt cạnh ${AC}$ tại ${K.}$ Chứng minh $\Delta CKE$ đồng dạng với $\Delta CFA$ và ${KD}$ là tia phân giác của $\widehat{HKE}$.
Lời giải
a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:
$\widehat{HBA}$ là góc chung
$\widehat{CAB}=\widehat{BHA}=90{}^\circ (\text{gt})$
Do đó: $\Delta ABC\backsim \Delta HBA\,$( g.g)
b)
*Xét $\Delta AFC$ có ${CH,AE}$ là các đường cao cắt nhau tại ${D}$ nên D là trực tâm của tam giác suy ra ${FD}$ vuông góc với ${AC}$ (tính chất 3 đường cao) mà ${BA}$ vuông góc với ${AC}$ nên $FD\,\text{//}\,AB$ nên ${FDH=ABH}$(cặp góc so le trong)
* Xét $\Delta DHF$và $\Delta BHA$ có: ${DH=HB}$ (gt); ${FDH=ABH}$ (cmt); $\widehat{DHF}=\widehat{BHA}=90{}^\circ $$\left( AH\bot BC \right)$
Nên $\Delta DHF=\Delta BHA$ (c.g.c) suy ra ${DF=AB}$
* Xét tứ giác ${ABFD}$có: ${DF=AB}$ và $DF\,\text{//}\,AB$nên tứ giác ${ABFD}$là hình bình hành. Mặt khác: $AF\bot BD\,(\text{gt})$. Nên tứ giác ${ABFD}$ là hình thoi
* Ta có tứ giác ${ABFD}$ là hình thoi nên$AD\,\text{//}\,BF$ (Tính chất hình thoi) ½ $DE\,\text{//}\,BF$
Xét tam giác $CBF$ có $DE\,\text{//}\,BF$ nên $\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{CE}{CF}$ (đ/lí Ta Lét)
c)
* Xét $\Delta CAE$ và $\Delta CFK$ có:
$\widehat{KCF}$ là góc chung
$\widehat{CEA}=\widehat{CKF}=90{}^\circ (\text{gt})$
Do đó: $\Delta CEA\backsim \Delta CKF$( g.g)
suy ra $\dfrac{CE}{CK}=\dfrac{CA}{CF}$(cạnh tương ứng tỉ lệ) suy ra $\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CK}{CF}$
* Xét $\Delta CKE$ và $\Delta CFA$ có:
$\widehat{KCE}$ là góc chung
$\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CK}{CF}$
Do đó: $\Delta CKE\backsim \Delta CFA\,$(c.g.c)
suy ra $\widehat{CKE}=\widehat{CFA}$(hai góc tương ứng).
* Chứng minh tương tự như trên ta có $\widehat{HKA}=\widehat{AFC}$ từ đó suy ra $\widehat{CKE}=\widehat{AKH}$$\Rightarrow 90{}^\circ -\widehat{CKE}=90{}^\circ -\widehat{AKH}$$\Rightarrow \widehat{EKF}=\widehat{HKF}$
suy ra ${{KD}}$ là tia phân giác của ${\widehat{HKE}}$(đpcm).
Bài 5. Cho $x>1;\,y>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
$P=\dfrac{{{x}^{2}}}{y-1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{x-1}$
Lời giải
Ta có với $x>1;\,y>1$thì $\dfrac{{{x}^{2}}}{y-1}$ và $\dfrac{{{y}^{2}}}{x-1}$$>0$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: $P=\dfrac{{{x}^{2}}}{y-1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{x-1}\ge 2.\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}}{y-1}.\dfrac{{{y}^{2}}}{x-1}}=2.\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}.\dfrac{{{y}^{2}}}{y-1}}$
+ Ta có: $\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}=x+1+\dfrac{1}{x-1}=x-1+\dfrac{1}{x-1}+2$
Vì$x>1;\,y>1$ $\Rightarrow x-1>0;\dfrac{1}{x-1}>0$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: $x-1+\dfrac{1}{x-1}\ge 2\sqrt{\left( x-1 \right)\dfrac{1}{x-1}}=2$
$\Rightarrow x-1+\dfrac{1}{x-1}+2\ge 2+2$
$\Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}\ge 4$
+ Tương tự ta có:$\dfrac{{{y}^{2}}}{y-1}=y+1+\dfrac{1}{y-1}=y-1+\dfrac{1}{y-1}+2\ge 4$
Suy ra $P=\dfrac{{{x}^{2}}}{y-1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{x-1}\ge 2.\sqrt{4.4}=8$
Dấu “=” xảy ra khi $x=y=2\,\text{(t/m)}$
Vậy $MinP=8$ khi $x=y=2\,.$
