Bài 1. Cho biểu thức: $A=\dfrac{x+1}{x-3}+\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{12}{{{x}^{2}}-9}$
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức$A$.
b) Tìm giá trị của biểu thức $A$ tại $x$ thỏa mãn $\left| x-2 \right|=1$.
c) Tìm $x$ để $A<1$.
Lời giải
a) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ :
Tại $x\ne \pm 3$ :
$A=\dfrac{x+1}{x-3}+\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{12}{{{x}^{2}}-9}$
$=\dfrac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}+\dfrac{2\left( x-3 \right)}{\left( x+3 \right)\left( x-3 \right)}+\dfrac{12}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}$
$=\dfrac{{{x}^{2}}+4x+3}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}+\dfrac{2x-6}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}+\dfrac{12}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}$
$=\dfrac{{{x}^{2}}+4x+3+2x-6+12}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+9}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}$
$=\dfrac{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}=\dfrac{x+3}{x-3}$
Vậy $A=\dfrac{x+3}{x-3}$ với $x\ne 3$ và $x\ne -3$.
Bài 2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình
Một bạn học sinh đi từ nhà đến trường với vận tốc $6\text{km/h}$. Khi từ trường trở về nhà, bạn đó đi với vận tốc $\text{7km/h}$ nên thời gian về ít hơn thời gian đi là $10$phút. Tính quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó.
Lời giải
Gọi quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh là $x\,\left( \text{km} \right)$.
Điều kiện : $x>0$
10 phút = $\dfrac{1}{6}\,\left( \text{h} \right)$
Thời gian học sinh đi từ nhà đến trường là $\dfrac{x}{6}\,\left( \text{h} \right)$ .
Thời gian học sinh đi từ trường về nhà là $\dfrac{x}{7}\,\left( \text{h} \right)$ .
Do thời gian về ít hơn thời gian đi là $10$phút nên ta có phương trình là:
$\dfrac{x}{7}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{x}{6}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{6}=\dfrac{x}{7}$
$\Leftrightarrow 7\,\left( x-1 \right)=6\,.\,x$
$\Leftrightarrow 7x-7=6x$$\Leftrightarrow x=7$ (thỏa mãn)
Vậy quãng đường học sinh đi từ nhà đến trường là $7\text{km}$.
Bài 3. Giải các phương trình, bất phương trình sau
a) $2x+3=-5$ .
b) ${{x}^{2}}-x-12=0$.
c) ${{\left( x-2 \right)}^{2}}>{{x}^{2}}-8$.
Lời giải
a) $2x+3=-5$
$\Leftrightarrow 2x=-8$
$\Leftrightarrow x=-4$.
Vậy phương trình tập nghiệm là $S=\{-4\}$.
b) ${{x}^{2}}-x-12=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-4x-12=0$
$\Leftrightarrow x\left( x+3 \right)-4\left( x+3 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x+3 \right)\left( x-4 \right)=0$
Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\{-3;4\}$ và $x=4$.
c) ${{\left( x-2 \right)}^{2}}>{{x}^{2}}-8$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4>{{x}^{2}}-8$
$\Leftrightarrow -4x>-12$
$\Leftrightarrow x<3$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{ x|x<3 \right\}$.
Bài 4. Cho tam giác nhọn $ABC$$\left( AB<AC \right)$, $AH$ là đường cao. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu của$H$lên cạnh $AB$ và $AC$. Đường thẳng $\text{EF}$ và $BC$ cắt nhau tại $D$.
a) Chứng minh: $\Delta \text{AF}H\backsim $$\Delta AHC$.
b) Chứng minh: $A{{H}^{2}}=AE.AB$.
c) Chứng minh: $\Delta AEF\backsim $ $\Delta ACB$.
d) Giả sử diện tích $\Delta \text{EHF}$ bằng ba lần diện tích $\Delta \text{DHE}$. Tính tỉ số $\dfrac{HE}{HF}$.
Lời giải
a) Ta có: $AH\bot BC=\left\{ H \right\}\left( \text{gt} \right)$$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90{}^\circ $
$HF\bot AC=\left\{ F \right\}\left( \text{gt} \right)$$\Rightarrow \widehat{HFA}=\widehat{HFC}=90{}^\circ $
Xét $\Delta AFH$ và $\Delta AHC$ có:
$\widehat{HFA}=\widehat{AHC}={{90}^{{}^\circ }}$
$\widehat{HAC}\text{chung}$
$\Rightarrow \Delta AFH\backsim $$\Delta AHC$ (g.g)
b) Ta có: $HE\bot AB=\left\{ H \right\}\left( \text{gt} \right)\Rightarrow \widehat{HEA}=\widehat{HEB}=90{}^\circ $
Xét $\Delta AEH$ và $\Delta AHB$ có:
$\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90{}^\circ $
$\widehat{A}\,\,\text{chung}$
$\Rightarrow \Delta AEH\backsim $$\Delta AHB$ (g.g)
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AB}$(Cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Leftrightarrow A{{H}^{2}}=AE.AB$
c) Ta có: $\Delta AFH\backsim $$\Delta AHC$(cmt)
$\Rightarrow \dfrac{AH}{AC}=\dfrac{\text{AF}}{AH}$ (Cặp cạnh tương ứng ti lệ)
$\Leftrightarrow A{{H}^{2}}\text{=AF}\text{.AC}$(cmt)
Mà $\text{A}{{\text{H}}^{2}}=AE.AB$
$\Rightarrow \text{AF}\text{.AC}=AE.AB\Leftrightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\text{AF}}{AB}$
Mà $\widehat{A}\,\,\text{chung}$$\Rightarrow \Delta AEF\backsim \Delta ACB\,\left( \text{c}\text{.g}\text{.c} \right)$
d) Ta có: ${{S}_{\text{EHF}}}=3{{S}_{DHE}}$(gt)
Mà hai tam giác trên có chung chiều cao hạ từ đỉnh $\text{H}$xuống cạnh $\text{EF}$và $\text{DE}$. Do đó: $\dfrac{{{S}_{\text{EF}H}}}{{{S}_{DHE}}}=\dfrac{FE}{DE}=3\Leftrightarrow FE=3DE$
Lại có: $DF=DE+FE\Rightarrow DF=4DE$
Bài 5. Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng tỏ rằng $16xyz\le y+z$.
Lời giải
Ta đi chứng minh bài toán: Với $a,b$ không âm, ta có ${{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4a.b$ (1).
Thật vậy, ${{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4a.b$$\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-4a.b\ge 0$$\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\ge 0$$\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.
Áp dụng bất đẳng thức (1) với $a=x,b=\left( y+z \right)$ ta có:
$1={{\left( x+y+z \right)}^{2}}\ge 4x\left( y+z \right)$.
Với $y,z$ là các số không âm suy ra $y+z\ge 0$. Khi đó:
$1\ge 4x\left( y+z \right)$$\Leftrightarrow y+z\ge 4x{{\left( y+z \right)}^{2}}$ (2).
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (1) với hai số không âm$y,z$ ta được
${{\left( y+z \right)}^{2}}\ge 4yz$ (3).
Từ (2) và (3) suy ra $y+z\ge 16xyz$ (đpcm)
