Bài 1. Cho biểu thức: $A=dfrac{x+1}{x-3}+dfrac{2}{x+3}+dfrac{12}{{{x}^{2}}-9}$
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức$A$.
b) Tìm giá trị của biểu thức $A$ tại $x$ thỏa mãn $left| x-2 right|=1$.
c) Tìm $x$ để $A<1$.
Lời giải
a) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ :
Tại $xne pm 3$ :
$A=dfrac{x+1}{x-3}+dfrac{2}{x+3}+dfrac{12}{{{x}^{2}}-9}$
$=dfrac{left( x+1 right)left( x+3 right)}{left( x-3 right)left( x+3 right)}+dfrac{2left( x-3 right)}{left( x+3 right)left( x-3 right)}+dfrac{12}{left( x-3 right)left( x+3 right)}$
$=dfrac{{{x}^{2}}+4x+3}{left( x-3 right)left( x+3 right)}+dfrac{2x-6}{left( x-3 right)left( x+3 right)}+dfrac{12}{left( x-3 right)left( x+3 right)}$
$=dfrac{{{x}^{2}}+4x+3+2x-6+12}{left( x-3 right)left( x+3 right)}=dfrac{{{x}^{2}}+6x+9}{left( x-3 right)left( x+3 right)}$
$=dfrac{{{left( x+3 right)}^{2}}}{left( x-3 right)left( x+3 right)}=dfrac{x+3}{x-3}$
Vậy $A=dfrac{x+3}{x-3}$ với $xne 3$ và $xne -3$.
Bài 2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình
Một bạn học sinh đi từ nhà đến trường với vận tốc $6text{km/h}$. Khi từ trường trở về nhà, bạn đó đi với vận tốc $text{7km/h}$ nên thời gian về ít hơn thời gian đi là $10$phút. Tính quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó.
Lời giải
Gọi quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh là $x,left( text{km} right)$.
Điều kiện : $x>0$
10 phút = $dfrac{1}{6},left( text{h} right)$
Thời gian học sinh đi từ nhà đến trường là $dfrac{x}{6},left( text{h} right)$ .
Thời gian học sinh đi từ trường về nhà là $dfrac{x}{7},left( text{h} right)$ .
Do thời gian về ít hơn thời gian đi là $10$phút nên ta có phương trình là:
$dfrac{x}{7}+dfrac{1}{6}=dfrac{x}{6}$
$Leftrightarrow dfrac{x-1}{6}=dfrac{x}{7}$
$Leftrightarrow 7,left( x-1 right)=6,.,x$
$Leftrightarrow 7x-7=6x$$Leftrightarrow x=7$ (thỏa mãn)
Vậy quãng đường học sinh đi từ nhà đến trường là $7text{km}$.
Bài 3. Giải các phương trình, bất phương trình sau
a) $2x+3=-5$ .
b) ${{x}^{2}}-x-12=0$.
c) ${{left( x-2 right)}^{2}}>{{x}^{2}}-8$.
Lời giải
a) $2x+3=-5$
$Leftrightarrow 2x=-8$
$Leftrightarrow x=-4$.
Vậy phương trình tập nghiệm là $S={-4}$.
b) ${{x}^{2}}-x-12=0$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-4x-12=0$
$Leftrightarrow xleft( x+3 right)-4left( x+3 right)=0$
$Leftrightarrow left( x+3 right)left( x-4 right)=0$
Vậy phương trình có tập nghiệm là $S={-3;4}$ và $x=4$.
c) ${{left( x-2 right)}^{2}}>{{x}^{2}}-8$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4>{{x}^{2}}-8$
$Leftrightarrow -4x>-12$
$Leftrightarrow x<3$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=left{ x|x<3 right}$.
Bài 4. Cho tam giác nhọn $ABC$$left( AB<AC right)$, $AH$ là đường cao. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu của$H$lên cạnh $AB$ và $AC$. Đường thẳng $text{EF}$ và $BC$ cắt nhau tại $D$.
a) Chứng minh: $Delta text{AF}Hbacksim $$Delta AHC$.
b) Chứng minh: $A{{H}^{2}}=AE.AB$.
c) Chứng minh: $Delta AEFbacksim $ $Delta ACB$.
d) Giả sử diện tích $Delta text{EHF}$ bằng ba lần diện tích $Delta text{DHE}$. Tính tỉ số $dfrac{HE}{HF}$.
Lời giải
a) Ta có: $AHbot BC=left{ H right}left( text{gt} right)$$Rightarrow widehat{AHB}=widehat{AHC}=90{}^circ $
$HFbot AC=left{ F right}left( text{gt} right)$$Rightarrow widehat{HFA}=widehat{HFC}=90{}^circ $
Xét $Delta AFH$ và $Delta AHC$ có:
$widehat{HFA}=widehat{AHC}={{90}^{{}^circ }}$
$widehat{HAC}text{chung}$
$Rightarrow Delta AFHbacksim $$Delta AHC$ (g.g)
b) Ta có: $HEbot AB=left{ H right}left( text{gt} right)Rightarrow widehat{HEA}=widehat{HEB}=90{}^circ $
Xét $Delta AEH$ và $Delta AHB$ có:
$widehat{AEH}=widehat{AHB}=90{}^circ $
$widehat{A},,text{chung}$
$Rightarrow Delta AEHbacksim $$Delta AHB$ (g.g)
$Rightarrow dfrac{AE}{AH}=dfrac{AH}{AB}$(Cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
$Leftrightarrow A{{H}^{2}}=AE.AB$
c) Ta có: $Delta AFHbacksim $$Delta AHC$(cmt)
$Rightarrow dfrac{AH}{AC}=dfrac{text{AF}}{AH}$ (Cặp cạnh tương ứng ti lệ)
$Leftrightarrow A{{H}^{2}}text{=AF}text{.AC}$(cmt)
Mà $text{A}{{text{H}}^{2}}=AE.AB$
$Rightarrow text{AF}text{.AC}=AE.ABLeftrightarrow dfrac{AE}{AC}=dfrac{text{AF}}{AB}$
Mà $widehat{A},,text{chung}$$Rightarrow Delta AEFbacksim Delta ACB,left( text{c}text{.g}text{.c} right)$
d) Ta có: ${{S}_{text{EHF}}}=3{{S}_{DHE}}$(gt)
Mà hai tam giác trên có chung chiều cao hạ từ đỉnh $text{H}$xuống cạnh $text{EF}$và $text{DE}$. Do đó: $dfrac{{{S}_{text{EF}H}}}{{{S}_{DHE}}}=dfrac{FE}{DE}=3Leftrightarrow FE=3DE$
Lại có: $DF=DE+FERightarrow DF=4DE$
Bài 5. Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng tỏ rằng $16xyzle y+z$.
Lời giải
Ta đi chứng minh bài toán: Với $a,b$ không âm, ta có ${{left( a+b right)}^{2}}ge 4a.b$ (1).
Thật vậy, ${{left( a+b right)}^{2}}ge 4a.b$$Leftrightarrow {{left( a+b right)}^{2}}-4a.bge 0$$Leftrightarrow {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}ge 0$$Leftrightarrow {{left( a-b right)}^{2}}ge 0$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.
Áp dụng bất đẳng thức (1) với $a=x,b=left( y+z right)$ ta có:
$1={{left( x+y+z right)}^{2}}ge 4xleft( y+z right)$.
Với $y,z$ là các số không âm suy ra $y+zge 0$. Khi đó:
$1ge 4xleft( y+z right)$$Leftrightarrow y+zge 4x{{left( y+z right)}^{2}}$ (2).
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (1) với hai số không âm$y,z$ ta được
${{left( y+z right)}^{2}}ge 4yz$ (3).
Từ (2) và (3) suy ra $y+zge 16xyz$ (đpcm)
