Câu 1. (2 điểm)
Cho biểu thức $A=\left( \dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2x+2}{{{x}^{2}}-1} \right).\dfrac{{{x}^{2}}+x}{3x+9}$ với $x\ne -3;\,x\ne \pm 1$.
a) Chứng minh $A=\dfrac{x}{x+3}$.
b) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $\left| x-2 \right|=1$.
c) Tìm $x$ để $A<1$.
Lời giải
a) ĐKXĐ: $x\ne -3;\,x\ne \pm 1$.
$A=\left( \dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2x+2}{{{x}^{2}}-1} \right).\dfrac{{{x}^{2}}+x}{3x+9}$
$A=\left( \dfrac{2\left( x+1 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}+\dfrac{3\left( x-1 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}-\dfrac{2x+2}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)} \right).\dfrac{{{x}^{2}}+x}{3x+9}$
$A=\dfrac{2x+2+3x-3-2x-2}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}.\dfrac{x\left( x+1 \right)}{3\left( x+3 \right)}$
$A=\dfrac{3x-3}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}.\dfrac{x\left( x+1 \right)}{3\left( x+3 \right)}$
$A=\dfrac{3\left( x-1 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}.\dfrac{x\left( x+1 \right)}{3\left( x+3 \right)}$
$A=\dfrac{x}{x+3}$
Vậy $A=\dfrac{x}{x+3}$ với $x\ne -3;\,x\ne \pm 1$.
b) ĐKXĐ: $x\ne -3;\,x\ne \pm 1$.
$\left| x-2 \right|=1$
TH1: $x-2=1$ $\Leftrightarrow x=3$ (tm đkxđ)
TH2: $x-2=-1$ $\Leftrightarrow x=1$ (không tm đkxđ)
Thay $x=3$ vào biểu thức $A$ ta được:
$A=\dfrac{3}{3+3}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
Vậy $A=\dfrac{1}{2}$ tại $x=3$.
c) ĐKXĐ: $x\ne -3;\,x\ne \pm 1$.
Để $A<1$ thì $\dfrac{x}{x+3}<1$
$\Leftrightarrow \dfrac{x}{x+3}-1<0$
$\Leftrightarrow \dfrac{x-x-3}{x+3}<0$
$\Leftrightarrow \dfrac{-3}{x+3}<0$
$\Rightarrow x+3>0$ (vì $-3<0$)
$\Leftrightarrow x>-3$
Kết hợp đkxđ ta được: $x>-3;\,x\ne \pm 1$.
Vậy $A<1$ khi $x>-3;\,x\ne \pm 1$.
Câu 2. (2 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Trong thời gian nghỉ do Covid – 19, An dự định tự ôn tập kiến thức bằng cách làm thêm các bài tập trong sách tham khảo. Lúc đầu An dự định sẽ hoàn thành trong 40 ngày. Nhưng thực tế mỗi ngày An làm được nhiều hơn 1 bài nên đã hoàn thành số bài tập đó sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi thực tế mỗi ngày An làm được bao nhiêu bài tập?
Lời giải
Gọi số bài tập mỗi ngày An làm được trong thực tế là $x$ (bài) $\left( x\in N*,\,x>1 \right)$
Số bài tập mỗi ngày An làm được theo dự định là $x-1$ (bài)
Số bài tập An làm được trong thực tế là 40 (bài)
Thời gian An làm bài theo dự định là $\dfrac{40}{x-1}$ (ngày)
Thời gian An làm bài trong thực tế là $\dfrac{40}{x}$ (ngày)
Vì An hoàn thành bài tập sớm hơn dự định là 2 ngày nên ta có phương trình:
$\dfrac{40}{x-1}-\dfrac{40}{x}=2$
$\Rightarrow 40x-40x+40=2{{x}^{2}}-2x$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-2x-40=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-20=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4x-20=0$
$\Leftrightarrow x\left( x-5 \right)+4\left( x-5 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-5 \right)\left( x+4 \right)=0$
TH1: $x-5=0\Leftrightarrow x=5$ (tmđk)
Th2: $x+4=0\Leftrightarrow x=-4$ (loại)
Vậy thực tế mỗi ngày An làm được 5 bài tập.
Câu 3. (2,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) $\left( x+1 \right).\left( x-2 \right)=2.\left( {{x}^{2}}-4 \right)$
b) $\left| x-2 \right|+3=2x$
c) $\dfrac{3}{x-7}+\dfrac{2}{x+7}=\dfrac{5}{{{x}^{2}}-49}$
d) $\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+3}{2}>1+\dfrac{5x}{6}$
Lời giải
$a)\,\,\,\,\left( x+1 \right).\left( x-2 \right)=2.\left( {{x}^{2}}-4 \right)$
$\Leftrightarrow (x+1)(x-2)-2(x-2)(x+2)=0$
$\Leftrightarrow (x-2)\left[ (x+1)-\left( 2x+4 \right) \right]=0$
$\Leftrightarrow (x-2)(-x-3)=0$
TH1: $x-2=0\Leftrightarrow x=2$
TH2: $-x-3=0\Leftrightarrow x=-3$
Vậy: Phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ 2;-3 \right\}$.
b) $\left| x-2 \right|+3=2x$
$\Leftrightarrow \left| x-2 \right|=2x-3\,\,(1)\,$
TH1: Nếu $\,x-2\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2\,$thì $\left| x-2 \right|=x-2$
Khi đó, phương trình (1) trở thành:
$x-2=2x-3\,$
$\Leftrightarrow 2x-x=3-2\,$
$\Leftrightarrow x=1\,\,$(loại)
TH2: Nếu$\,x-2<0\Leftrightarrow x<2$ thì $\left| x-2 \right|=-(x-2)$
Khi đó, phương trình (1) trở thành:
$-x+2=2x-3\,\,$
$\Leftrightarrow -2x-x=-3-2$
$\,\Leftrightarrow -3x=-5$
$\,\,\,\,\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{3}(tm)$
Vậy: Phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ \dfrac{5}{3} \right\}$.
c) $\dfrac{3}{x-7}+\dfrac{2}{x+7}=\dfrac{5}{{{x}^{2}}-49}$
Điều kiện: $x\ne \pm 7$.
$\dfrac{3}{x-7}+\dfrac{2}{x+7}=\dfrac{5}{{{x}^{2}}-49}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3.\left( x+7 \right)}{\left( x-7 \right).\left( x+7 \right)}+\dfrac{2.\left( x-7 \right)}{\left( x-7 \right).\left( x+7 \right)}=\dfrac{5}{\left( x-7 \right).\left( x+7 \right)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3x+21+2x-14}{\left( x-7 \right).\left( x+7 \right)}=\dfrac{5}{\left( x-7 \right).\left( x+7 \right)}$
$\Leftrightarrow 5x+7=5$
$\Leftrightarrow 5x=-2\Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{5}(tm)$
Vậy: Phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ -\dfrac{2}{5} \right\}$.
d) $\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+3}{2}>1+\dfrac{5x}{6}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+3}{2}>1+\dfrac{5x}{6}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2\left( 2x-1 \right)}{6}-\dfrac{3\left( x+3 \right)}{6}>\dfrac{6}{6}+\dfrac{5x}{6}$
$\Leftrightarrow 4x-2-3x-9>6+5x$
$\Leftrightarrow -4x>17$
$\Leftrightarrow x<\dfrac{-17}{4}$
Vậy: Bất phương trình có nghiệm là $x<\dfrac{-17}{4}$.
Câu 4. (3,5 điểm)
1. Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ đường cao.
- Chứng minh: tam giác $\Delta HAC\,$
$\Delta ABC\,$
- Vẽ $HD\bot AB$$\left( D\in AB \right)$, $HE\bot AC$$\left( E\in AC \right)$. Chứng minh: $A{{H}^{2}}=AD.AB$.
- Chứng minh: $AD.AB=AE.AC$.
- Tính tỉ số $\dfrac{{{S}_{\Delta ADE}}}{{{S}_{\Delta ACB}}}$. Biết $AB=12\,\text{cm}$, $AC=16\,\text{cm}$.
2. Cho hình hộp chữ nhật có $AB=3\,\text{cm}$, $AD=5\,\text{cm}$, $A{A}'=6\,\text{cm}$ như hình bên. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp trên.
Lời giải
a) Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AH$ đường cao (gt)nên $\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=\widehat{AHB}=90{}^\circ $.
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HAC$ có:
$\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90{}^\circ ;\,\,\widehat{ACB}=\widehat{ACH}$
$\Rightarrow \Delta \text{ABC}$
b) $HD\bot AB$$\left( D\in AB \right)$$\Rightarrow \widehat{\text{HDA}}=90{}^\circ $
Xét $\Delta AHB$ và $\Delta ADH$ có:
$\widehat{ADH}=\widehat{AHB}=90{}^\circ ;\,\,\widehat{BAH}=\widehat{HAD}$
$\Rightarrow \Delta AHB$∽$\Delta ADH$(g-g)
$\Rightarrow \dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AB}{AH}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow A{{H}^{2}}=AD.AB\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
c) Chứng minh tương tự như câu b
$\Delta AHC$∽$\Delta AEH$$\Rightarrow \dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AC}{AH}$$\Rightarrow A{{H}^{2}}=AE.AC\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có$AD.AB=AE.AC\Rightarrow \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AC}{AB}$.
d) Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ACB$có:
$\widehat{BAC}=90{}^\circ $
$\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AC}{AB}$
$\Rightarrow $$\Delta ADE$∽$\Delta ACB$ (c-g-c).
Do đó:$\dfrac{{{S}_{\Delta ADE}}}{{{S}_{\Delta ACB}}}={{\left( \dfrac{AD}{AC} \right)}^{2}}$.
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:
$\text{B}{{\text{C}}^{\text{2}}}=\text{A}{{\text{B}}^{\text{2}}}+\text{A}{{\text{C}}^{\text{2}}}$ (Định lý Pitago)
$\text{B}{{\text{C}}^{\text{2}}}=\text{1}{{\text{2}}^{\text{2}}}+{{16}^{\text{2}}}\Rightarrow \text{BC}=20\,(cm)$$$
${{S}_{\Delta \text{ABC}}}=\dfrac{1}{2}.\text{AB}\text{.AC}=\dfrac{1}{2}.\text{AH}\text{.BC}\Rightarrow \text{AB}\text{.AC}=\text{AH}\text{.BC}\Rightarrow \text{AH=}\dfrac{\text{AB}\text{.AC}}{\text{BC}}=\dfrac{12.16}{20}=9,6\,(cm)$.
Mà $\text{A}{{\text{H}}^{2}}=\text{AD}\text{.AB}\Rightarrow \text{AD}=\dfrac{\text{A}{{\text{H}}^{2}}}{\text{AB}}=\dfrac{9,{{6}^{2}}}{12}=7,68\,(cm)$.
Do đó $\dfrac{{{S}_{\Delta ADE}}}{{{S}_{\Delta ACB}}}={{\left( \dfrac{AD}{AC} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{7,68}{16} \right)}^{2}}=0,2304$.
Vậy $\dfrac{{{S}_{\Delta ADE}}}{{{S}_{\Delta ACB}}}=0,2304$.
2. Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:
${{S}_{xq}}=2.\left( 3+5 \right).6=96\,(c{{m}^{2}})$.
Thể tích của hình hộp chữ nhật là:
$V=3.5.6=90\,(c{{m}^{3}})$.
Câu 5. (0,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
$A=\dfrac{27-12x}{{{x}^{2}}+9}$
Lời giải
+) Ta có: $A=\dfrac{27-12x}{{{x}^{2}}+9}=\dfrac{\left( {{x}^{2}}-12x+36 \right)-\left( {{x}^{2}}+9 \right)}{{{x}^{2}}+9}=\dfrac{{{\left( x-6 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}-1$
Vì $\dfrac{{{\left( x-6 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}\ge 0\,\,\forall x$ nên $\dfrac{{{\left( x-6 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}-1\ge -1\,\,\forall x$
Hay $A\ge -1\,\,\forall x$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x-6=0\Leftrightarrow x=6.$ Vậy GTNN của $A=-1\,\,\Leftrightarrow x=6$.
+) Ta có: $A=\dfrac{27-12x}{{{x}^{2}}+9}=\dfrac{\left( 4{{x}^{2}}+36 \right)-\left( 4{{x}^{2}}+12x+9 \right)}{{{x}^{2}}+9}=4-\dfrac{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}$
Vì $\dfrac{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}\ge 0\,\,\forall x$nên $4-\dfrac{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+9}\le 4\,\,\forall x$ 
.
Hay $A\le 4\,\forall x$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 2x+3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3}{2}.$ Vậy GTLN của $A=4\,\,\Leftrightarrow x=\dfrac{-3}{2}$.
