Câu 1. (2,5 điểm)
Cho biểu thức $M=\dfrac{x}{x-3}:\left( \dfrac{x}{{{x}^{2}}-3x}-\dfrac{2}{x} \right)$ với $x\ne 0,\,\,x\ne 3$.
a) Rút gọn biểu thức $M$.
b) Tính giá trị của $M$với giá trị $x$của thỏa mãn ${{x}^{2}}-2x=0$.
c) Tìm các giá trị của $x$ để $M\ge 0$.
Lời giải
a) Rút gọn biểu thức $M$.
$M=\dfrac{x}{x-3}:\left( \dfrac{x}{{{x}^{2}}-3x}-\dfrac{2}{x} \right)=\dfrac{x}{x-3}:\left( \dfrac{x}{x\left( x-3 \right)}-\dfrac{2\left( x-3 \right)}{x\left( x-3 \right)} \right)$
$M=\dfrac{x}{x-3}:\left( \dfrac{6-x}{x\left( x-3 \right)} \right)=\dfrac{x}{x-3}.\left( \dfrac{x\left( x-3 \right)}{6-x} \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{6-x}$.
b) Tính giá trị của $M$ với giá trị $x$ của thỏa mãn ${{x}^{2}}-2x=0$.
Với ${{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)=0$ suy ra $x=0$ (KTM) hoặc $x=2$(TM)
Thay $x=2$ vào $M$ ta có $M==\dfrac{{{2}^{2}}}{6-2}=1$.
Vậy giá trị của biểu thức $M=1$ khi $x=2$
c) Tìm các giá trị của $x$ để $M\ge 0$.
Để $M\ge 0$ $\Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{6-x}\ge 0$ với $x\ne 0\,;\,x\ne 2$ vì ${{x}^{2}}>0$ nên $6-x>0\Leftrightarrow x<6$.
Vậy $x<6$ và $x\ne 0,\ x\ne 2$ thì $M>0$ (không tồn tại dấu bằng).
Câu 2. (1,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) $3x-(9-7x)=4x+3$. b) $\left| 2x-4 \right|=3-4x$.
Lời giải
a) $3x-\left( 9-7x \right)=4x+3$ $\Leftrightarrow 3x-9+7x=4x+3$ $\Leftrightarrow 6x=12\Leftrightarrow x=2$.
Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{ 2 \right\}$.
b) $\left| 2x-4 \right|=3-4x$
Với $x\ge 2$ thì ta có $2x-4=3-4x\Leftrightarrow 6x=7\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{6}<2$ (loại)
Với $x<2$ thì ta có $4-2x=3-4x\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}$(tmđk )
Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{ \dfrac{-1}{2} \right\}$.
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Một phân xưởng, mỗi ngày dự định sản xuất $70$sản phẩm. Nhưng thực tế, do mỗi ngày phân xưởng làm được $74$ sản phẩm, nên không những phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn $1$ngày mà còn làm thêm được $100$sản phẩm. Tính số sản phẩm phân xưởng đó phải làm theo kế hoạch?
b) Một bể cá mini có dạng hình hộp chữ nhật (như hình vẽ). Đáy bể có diện tích là $25d{{m}^{2}}$. Khi đổ $70$ lít nước vào bể, người ta đo được chiều cao của mực nước trong bể bằng $\dfrac{7}{3}$ chiều cao phần còn lại của bể. Hỏi bể cá cao bao nhiêu cen – ti – met? (các sai số trong đo đạc không đáng kể).
Lời giải
a) Gọi số sản phẩm phân xưởng đó phải làm theo kế hoạch là $x$ (sản phẩm, $x\in {{N}^{*}},x>70$).
Thời gian phân xưởng đó phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là: $\dfrac{x}{70}$(Ngày).
Tống số sản phẩm mà phân xưởng đã làm trên thực tế là: $x+100$(sản phẩm).
Thời gian phân xưởng đó hoàn thành công việc trên thực tế là: $\dfrac{x+100}{74}$(Ngày).
Phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn $1$ngày nên ta có phương trình:
$\dfrac{x}{70}-\dfrac{x+100}{74}=1$
Giải phương trình: $\begin{align}
& \dfrac{x}{70}-\dfrac{x+100}{74}=1\Leftrightarrow 74x-70x-7000=70.74\Leftrightarrow 4x-7000=5180 \\
& \Leftrightarrow 4x=12180\Leftrightarrow x=3045 \\
\end{align}$
Vậy $x=3085$ thỏa mãn yêu cầu. Vậy số sản phẩm phân xưởng đó phải làm theo kế hoạch là $3085$sản phẩm.
b) Chiều cao của mực nước trong bể là: $h=70:25=2,8\left( dm \right)$.
Chiều cao phần còn lại của bể cá là: $2,8:\dfrac{7}{3}=\dfrac{6}{5}=1,2\left( dm \right)$.
Vậy chiều cao của bể là; $2,8+1,2=4\left( dm \right)=40\left( cm \right)$.
Vậy bể cá cao $40\left( cm \right)$.
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác $MNP$ có cạnh $MN<MP$, tia phân giác $MA$ ($A\in NP$). Lấy điểm $C$ trên tia $MA$ sao cho $\widehat{MNP}=\widehat{MPC}$.
a. Chứng minh : $\Delta $$MNA$ $\backsim $$\Delta $$MPC$?
b. Chứng minh $\Delta $$APC$ là tam giác cân?
c. Kẻ $NI\,\text{//}\,CP$, $I\in MA$. Chứng minh $MC.IA\text{ }=\text{ }MA.AC$?
d. Qua $M$ kẻ đường thẳng $xy\,\text{//}\,NP$. Qua $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $NP$ tại $K$. Đường thẳng $KI$ cắt $xy$ tại $G$. Biết $MN=a,\,MP=3a$. Tính tỉ số $\dfrac{IK}{IG}$ ?
Lời giải
a. Chứng minh : $\Delta $$MNA$ $\backsim $$\Delta $$MPC$?
Xét $\Delta $$MNA$ và $\Delta $$MPC$ có :
$\widehat{{{M}_{1~}}}$= $\widehat{{{M}_{2}}}$ ( Vì $MA$ là tia phân giác $\widehat{NMP}$)
$\widehat{MNP~}$= $\widehat{MPC}$ ( GT)
Suy ra $\Delta $$MNA$ $\backsim $$\Delta $$MPC$ (g-g)
b. CM: $\Delta $$APC$ là tam giác cân?
Ta có:
+ $\Delta $$MNA$ $\backsim $$\Delta $$MPC$( theo câu a)$~=>\widehat{MAN~}$= $\widehat{PCA}$ ( 2 góc tương ứng) (1)
+ $\widehat{MAN~}$= $\widehat{PAC}$ (đối đỉnh) (2)
Từ (1) & (2) suy ra $\widehat{PCA}$ = $\widehat{PAC}$ $=>$ $\Delta $$APC$ cân tại $P$.
c. CM: $MC.IA\text{ }=\text{ }MA.AC$?
$\Delta $$MNA$ $\backsim $$\Delta $$MPC$ $=>\dfrac{MA}{MC}$ = $\dfrac{MN}{MP}$ (3)
Vì $MA$ là tia phân giác $\widehat{NMP}$$=>\dfrac{MN}{MP}=\dfrac{NA}{AP}$ (4)
$NI\text{ // }CP$(GT) $\Rightarrow \dfrac{NA}{AP}~=\dfrac{IA}{AC}$ (5)( hệ quả của định lý Talet)
Từ (3), (4) & (5) suy ra : $\dfrac{MA}{MC}~=\dfrac{IA}{AC}$ $\Rightarrow $ $MC.IA\text{ }=\text{ }MA.AC$
d. Tính tỉ số $\dfrac{IK}{IG}$ ?
Ta có : $\dfrac{MN}{MP}~=~\dfrac{a}{3a}~=\dfrac{1}{3}~$ suy ra$~~\dfrac{~MA}{MC}~=\dfrac{IA}{AC}~=\dfrac{1}{3}$
Suy ra $MA\text{ }=~\dfrac{1}{3}MC$và $~IA\text{ }=~\dfrac{1}{3}AC\text{ }=\dfrac{2}{3}~MA$$\Rightarrow ~\dfrac{IA}{IM}=2$
$xy\text{//}NP$(GT)$\Rightarrow \dfrac{IK}{IG}~=~\dfrac{IA}{IM}~=2$( hệ quả của định lý Talet).
