Đáp án - đề 9

Câu

Phần

Nội dung

Điểm

Câu 1 (3,0đ)

a)

$7+2\sqrt{x}-x=\left( 2+\sqrt{x} \right)\sqrt{7-x}$                                                     (1)

ĐK: $0\le x\le 7$

$(1)\Leftrightarrow 7+2\sqrt{x}-x=2\sqrt{7-x}+\sqrt{x}.\sqrt{7-x}$

   $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {7 - x} \right) - \sqrt x .\sqrt {7 - x}  + 2\sqrt x  - 2\sqrt {7 - x}  = 0\;\\
 \Leftrightarrow \sqrt {7 - x} \left( {\sqrt {7 - x}  - \sqrt x } \right) - 2\left( {\sqrt {7 - x}  - \sqrt x } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {7 - x}  - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {7 - x}  - 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {7 - x}  - \sqrt x  = 0\\
\sqrt {7 - x}  - 2 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {7 - x}  = \sqrt x \\
\sqrt {7 - x}  = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
7 - x = x\\
7 - x = 4
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3,5{\rm{ (TM)}}\\
x = 3{\rm{    (TM)}}
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ 3,5;3 \right\}$

1.5

b)

$\left( x+\sqrt{2018+{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{2018+{{y}^{2}}} \right)=2018$                           (1)

Thực hiện phép nhân liên hợp, ta có:

$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2018 - {x^2}} \right)\left( {y + \sqrt {2018 + {y^2}} } \right) = 2018\left( {x - \sqrt {2018 + {x^2}} } \right)\\
{\rm{   }} \Leftrightarrow  - 2018\left( {y + \sqrt {2018 + {y^2}} } \right) = 2018\left( {x - \sqrt {2018 + {x^2}} } \right)\\
{\rm{   }} \Leftrightarrow y + \sqrt {2018 + {y^2}}  = \sqrt {2018 + {x^2}}  - x\\
{\rm{   }} \Leftrightarrow \sqrt {2018 + {x^2}}  - \sqrt {2018 + {y^2}}  = x + y{\rm{                                      (2)}}\\
(1) \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {2018 + {x^2}} } \right)\left( {{y^2} - 2018 - {y^2}} \right) = 2018\left( {y - \sqrt {2018 + {y^2}} } \right)\\
{\rm{   }} \Leftrightarrow  - 2018\left( {x + \sqrt {2018 + {x^2}} } \right) = 2018\left( {y - \sqrt {2018 + {y^2}} } \right)\\
{\rm{   }} \Leftrightarrow x + \sqrt {2018 + {x^2}}  = \sqrt {2018 + {y^2}}  - y\\
{\rm{   }} \Leftrightarrow \sqrt {2018 + {x^2}}  - \sqrt {2018 + {y^2}}  =  - x - y{\rm{                                    (3)}}
\end{array}$

Từ (2) và (3)

$\Rightarrow x+y=-x-y\Leftrightarrow 2x=-2y\Leftrightarrow x=-y$

Thay $x=-y$ vào biểu thức Q, ta được:

$\begin{array}{l}
Q = {( - y)^{2019}} + {y^{2019}} + 2018\left( { - y + y} \right) + 2020\\
{\rm{   }} =  - {y^{2019}} + {y^{2019}} + 2018.0 + 2020\\
{\rm{   }} = 2020
\end{array}$

1.5

Câu 2 (1,5đ)

$\begin{array}{l}
\Delta ' = {(m - 1)^2} - (2m - 6) = {m^2} - 2m + 1 - 2m + 6\\
{\rm{   }} = ({m^2} - 4m + 4) + 3 = {(m - 2)^2} + 3 > 0{\rm{ }}\forall m
\end{array}$

$\Rightarrow $ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\
{x_1}{x_2} = 2m - 6
\end{array} \right.$

Do đó:

$\begin{array}{l}
A = {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} - 2\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \cdot \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = {\left( {\dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}}} \right)^2} - 2\\
{\rm{   }} = {\left[ {\frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}} \right]^2} - 2 = {\left[ {\dfrac{{{{(2m - 2)}^2} - 2(2m - 6)}}{{2m - 6}}} \right]^2} - 2\\
{\rm{   }} = {\left( {\dfrac{{4{m^2} - 8m + 4 - 4m + 12}}{{2m - 6}}} \right)^2} - 2 = {\left( {\dfrac{{4{m^2} - 12m + 16}}{{2m - 6}}} \right)^2} - 2\\
{\rm{   }} = {\left[ {\dfrac{{2m(2m - 6) + 16}}{{2m - 6}}} \right]^2} - 2 = {\left( {2m + \dfrac{8}{{m - 3}}} \right)^2} - 2
\end{array}$

Với $m\in {{N}^{*}},m\ne 3$ thì $2m+\dfrac{8}{m-3}\in Q$

$\Rightarrow $ A có giá trị nguyên

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 2m + \frac{8}{{m - 3}} \in Z \Leftrightarrow \frac{8}{{m - 3}} \in Z\\
 \Rightarrow m - 3 \in \left\{ { \pm 1; \pm 2;4;8} \right\}{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}m > 0 \Rightarrow m - 3 >  - 3} \right)\\
 \Rightarrow m \in \left\{ {4;2;5;1;7;11} \right\}
\end{array}$

Vậy $m\in \left\{ 4;2;5;1;7;11 \right\}$ là các giá trị cần tìm.

1.5.

Câu 3 (2,0đ)

a)

$P=\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{2025\sqrt{2024}+2024\sqrt{2025}}$

Với $n\in {{N}^{*}}$, ta có:

$\begin{array}{l}
{\rm{  }}\dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n  + n\sqrt {n + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} .\sqrt n .\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt {n + 1}  - \sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} .\sqrt n .\left( {n + 1 - n} \right)}} = \dfrac{{\sqrt {n + 1}  - \sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} .\sqrt n }} = \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}
\end{array}$

Áp dụng kết quả trên, ta được:

$\begin{array}{l}
P = \dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2024} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {2025} }}\\
{\rm{   }} = \dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt {2025} }} = 1 - \dfrac{1}{{45}} = \dfrac{{44}}{{45}}
\end{array}$

1.0

b)

$\begin{array}{l}
{\rm{    }}{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} + 2xy + {y^2} \ge {x^2} + 2xy + {y^2}
\end{array}$

$\Leftrightarrow 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge {{\left( x+y \right)}^{2}}$                                                                                 (1)

Theo đề bài:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3\left( x+y \right)\Leftrightarrow 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=6\left( x+y \right)$                                      (2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}\le 6\left( x+y \right)$

$\Leftrightarrow x+y\le 6\text{ }(\text{do }x,y\in {{N}^{*}}\Rightarrow x+y>0)$                                                           (3)

Vì ${{x}^{2}},{{y}^{2}}$ là các số chính phương nên chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

Mà ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3\left( x+y \right)\text{ }\vdots \text{ }3$

$\Rightarrow {{x}^{2}}\vdots 3\text{  v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{   }{{y}^{2}}\vdots 3$                                                                                             (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow x=y=3$ (thỏa mãn đề bài)

Vậy $x=y=3$.

1.0

Câu 4 (3,5đ)

0.25

a)

Gọi H, P lần lượt là giao điểm của OM với AB, IK.

Ta có: OA = OB = R và MA = MB (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow $ OM là đường trung trực của AB

$\Rightarrow OM\bot AB$ tại H

$\Delta $MAC có IM = IA và KM = KC

$\Rightarrow $ IK là đường trung bình của $\Delta $MAC

$\Rightarrow $ IK // AC hay IP // AH

$\Delta $MAH có IM = IA và IP // AH $\Rightarrow $ PM = PH

Vì IK // AC và OM $\bot $ AC $\Rightarrow OM\bot IK$ tại P

$\Rightarrow $ Các tam giác KPO, KPM vuông tại P

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

$\begin{array}{l}
{\rm{    }}K{O^2} = K{P^2} + P{O^2}  và  {\rm{ }}K{M^2} = K{P^2} + P{M^2}\\
 \Rightarrow K{O^2} - K{M^2} = P{O^2} - P{M^2} = (PO + PM)(PO - PM)\\
{\rm{ }} = OM.(PH + OH - PM) = OM.OH{\rm{ }}({\rm{do }}PM = PH)
\end{array}$

$\Delta $OAM vuông tại A (vì MA là tiếp tuyến tại A của (O))

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

    $OM.OH=O{{A}^{2}}={{R}^{2}}$

Mà $K{{O}^{2}}-K{{M}^{2}}=OM.OH$

$\Rightarrow K{{O}^{2}}-K{{M}^{2}}={{R}^{2}}$ (đpcm).

1.25

b)

Vẽ tiếp tuyến KQ của (O) (Q và A nằm cùng phía với MC)

$\Rightarrow $$\Delta $KQO vuông tại Q

$\Rightarrow K{{O}^{2}}=K{{Q}^{2}}+O{{Q}^{2}}=K{{Q}^{2}}+{{R}^{2}}$ (định lí Py-ta-go)

Mà $K{{O}^{2}}-K{{M}^{2}}={{R}^{2}}\Rightarrow K{{O}^{2}}=K{{M}^{2}}+{{R}^{2}}$

$\Rightarrow K{{Q}^{2}}=K{{M}^{2}}\Rightarrow KQ=KM=KC$

$\Delta $KQD và $\Delta $KAQ có: $\widehat{QKA}\text{ chung; }\widehat{KQD}=\widehat{KAQ}\text{ }\left( =\dfrac{1}{2}\text{s}\overset\frown{DQ} \right)$

$\Rightarrow $$\Delta $KQD  $\Delta $KAQ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{KQ}{KA}=\dfrac{KD}{KQ}\Rightarrow \dfrac{KC}{KA}=\dfrac{KD}{KC}\text{ }(v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{  }KQ=KC)$

$\Rightarrow $$\Delta $KCD  $\Delta $KAC (c.g.c)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat A_1}\\
 \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat B_1}{\rm{ }}\left( {{\rm{vì }}{{\widehat A}_1} = {{\widehat B}_1} = \frac{1}{2}{\rm{s}}} \right)
\end{array}$

$\Rightarrow $ Tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp (đpcm)

1.0

c)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDM có

$\Rightarrow \widehat{DMC}={{\widehat{B}}_{2}}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Mà ${{\widehat{B}}_{2}}={{\widehat{E}}_{1}}\text{ }\left( =\dfrac{1}{2}\text{s}\overset\frown{AD} \right)$

$\Rightarrow \widehat{DMC}={{\widehat{E}}_{1}}$

Nhưng hai góc ở vị trí so le trong

$\Rightarrow $ MK // AE $\Rightarrow $ AEKM là hình thang

Hình thang AEKM (AE // MK) có IA = IM và NE = NK

$\Rightarrow $ IN là đường trung bình của hình thang AEKM

$\Rightarrow \widehat{INF}=\widehat{AEF}$ (2 góc đồng vị)

Mặt khác: $\widehat{IAF}=\widehat{AEF}\text{ }\left( =\dfrac{1}{2}\text{s}\overset\frown{AF} \right)$

$\Rightarrow \widehat{IAF}=\widehat{INF}\text{ }\left( =\widehat{AEF} \right)$

$\Rightarrow $ AIFN là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow $ 4 điểm A, I, F, N cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

1.0