Đáp án - đề 15 - trang 1

Bài

Điểm

1

2.0

a) Cho biểu thức $A=\left( \dfrac{x+3\sqrt{x}+2}{x\sqrt{x}-8}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2} \right):\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ với $x>0$ và $x\ne 4$. Tìm giá trị của $A$ tại $x=14+6\sqrt{5}$.

Với $x>0;x\ne 4$, ta có:

$A=\left( \dfrac{x+3\sqrt{x}+2}{x\sqrt{x}-8}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2} \right):\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$=\left[ \dfrac{x+3\sqrt{x}+2}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( x+2\sqrt{x}+4 \right)}-\dfrac{x+2\sqrt{x}+4}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( x+2\sqrt{x}+4 \right)} \right]\sqrt{x}$.

$=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( x+2\sqrt{x}+4 \right)}\sqrt{x}=\dfrac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+4}.$

0.5

Ta có $x=14+6\sqrt{5}=9+2.3.\sqrt{5}+5={{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{2}}\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{{{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{2}}}=\left| 3+\sqrt{5} \right|=3+\sqrt{5}.$

0.25

Khi đó, ta có: $A=\dfrac{3+\sqrt{5}}{14+6\sqrt{5}+2.\left( 3+\sqrt{5} \right)+4}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{24+8\sqrt{5}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{8\left( 3+\sqrt{5} \right)}=\dfrac{1}{8}.$

0.25

b) Tính giá trị biểu thức $A=\sqrt{12-\sqrt{80-32\sqrt{3}}}-\sqrt{12+\sqrt{80-32\sqrt{3}}}$.

Ta có ${{A}^{2}}=24-8\sqrt{4+2\sqrt{3}}={{\left( 2\sqrt{3}-2 \right)}^{2}}$

0.5

$\Rightarrow A=\pm \left( 2\sqrt{3}-2 \right)$

0.25

Do $A<0$ nên $A=2-2\sqrt{3}$.

0.25

2

Cho phương trình ${{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x-{{m}^{2}}-1=0$  (1)  ($x$ là ẩn số, $m$ là tham số)

1.0

a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

Ta có $ac=1.\left( -{{m}^{2}}-1 \right)<0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi giá trị $m$.

0.25

b) Giả sử ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm $m$để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{1}} \right|-\left| {{x}_{2}} \right|=3$.

Do phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu và ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$

Suy ra ${{x}_{1}}<0$, ${{x}_{2}}>0$

0.25

$\Rightarrow \left| {{x}_{1}} \right|=-{{x}_{1}},\left| {{x}_{2}} \right|={{x}_{2}}$

0.25

$\Rightarrow \left| {{x}_{1}} \right|-\left| {{x}_{2}} \right|=3\Leftrightarrow -\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=3\Leftrightarrow 2m-3=3\Leftrightarrow m=3$

0.25

3

1.5

a) Giải phương trình ${{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}=12x+1$.

Biến đổi tương đương phương trình ta được

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 9 = 6x + 1\\
{x^2} + 9 =  - 6x - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 6x + 8 = 0\\
{x^2} + 6x + 10 = 0{\rm{ }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x{\rm{  =  4}}
\end{array} \right.$

0.25

0.5

b) Giải hệ phương trình

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {2x - y - 9}  - 36 + {x^2} = 0}\\
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^2} - xy + 9 = 0}
\end{array}} \right.$

Điều kiện $2x-y-9\ge 0$, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {2x - y - 9}  - 36 + {x^2} = 0\,\,\,\,(1)}\\
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^2} - xy + 9 = 0\,\,\,\,(2)}
\end{array}} \right.$

Phương trình (2) $\Leftrightarrow $ ${{\left( 2y-x \right)}^{2}}={{x}^{2}}-36$

0.25

Suy ra (1) $\sqrt {2x - y - 9}  + {\left( {2y - x} \right)^2} = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x - y - 9 = 0}\\
{\,\,\,\,\,\,\,2y - x = 0}
\end{array}} \right.$

0.25

 $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 6}\\
{y = 3}
\end{array}} \right.$

 thỏa điều kiện. Vậy hệ phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 6}\\
{y = 3}
\end{array}} \right.$

0.25.