|
Câu 4. (2,5 điểm) |
|
Cho hình thang $ABCD$ (AB//CD,$AB<CD$). Gọi $K, M$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $AC$. Đường thẳng đi qua $K$ và vuông góc với $AD$ cắt đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $BC$ tại $Q$. Chứng minh: a) KM // AB. b) $QD=QC.$
|
|
a (1.0 điểm) |
|
|
|
Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $E=IK\cap CD\,,\,\,R=IM\cap CD$. Xét hai tam giác $KIB$ và $KED$ có $\left\{ \begin{array}{l} $\Rightarrow \Delta KIB=\Delta KED\Rightarrow IK=KE\text{ (1)}$. |
||
|
Chứng minh tương tự có: $\Delta MIA=\Delta MRC\Rightarrow MI=MR\text{ (2)}$ |
||
|
Từ (1) và (2) suy ra KM là đường trung bình $\Delta IER$ $\Rightarrow $ KM // CD |
||
|
Do CD // AB (gt). Vậy KM // AB (đpcm) |
||
|
b (1.5 điểm) |
Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) $\Rightarrow $ IK là đường trung bình của $\Delta $ABD $\Rightarrow $ IK//AD hay IE//AD |
|
|
$\Rightarrow QK\bot IE$. Suy ra $QK$là đường trung trực ứng với cạnh IE của $\Delta IER$. |
||
|
Tương tự ta chứng minh được QM là đường trung trực ứng với cạnh $IR$ của $\Delta IER$. |
||
|
Hạ $QH\bot CD$ thì QH là trung trực ứng với cạnh $ER$ của $\Delta IER$ |
||
|
Do $DE=RC=\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow QH$ là đường trung trực của đoạn CD. |
||
|
Vậy $QC=QD$. |
||
|
Câu 5( 1 điểm) |
|
Có bao nhiêu tập hợp con $A$ của tập hợp $S=\left\{ 1,2,3...2018 \right\}$ thỏa mãn điều kiện $A$ có ít nhất hai phần tử và nếu $x\in A,\,y\in A,\,x>y$ thì $\dfrac{{{y}^{2}}}{x-y}\in A$.
|
|
|
Với mỗi tập $A$ là tập con của $S=\left\{ 1,2,3...2018 \right\}$ thỏa mãn đề bài, gọi $a$ và $b$ lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của tập $A(a,b\in S,a<b)$. Ta chứng minh $b\le 2a$. Thật vậy, giả sử $b>2a$, theo giả thiết $c=\dfrac{{{a}^{2}}}{b-a}\in A.$ Mà $b>2a=>ba>a>0=>c\text{ }=\dfrac{{{a}^{2}}}{b-a}<\dfrac{{{a}^{2}}}{a}=a$, mâu thuẫn với $a$ là phần tử nhỏ nhất của $A$. Vậy $b\le 2a$. |
|
|
Gọi $d$ là phần tử lớn nhất của tập $B=A\backslash \left\{ b \right\}.$ Ta chứng minh $b\ge 2d$. Thật vậy, giả sử $b<2d$, theo giả thiết thì $d<b=>e=\dfrac{{{d}^{2}}}{b-d}\in A$. Mà $b<2d=>0<bd<d=>e>\dfrac{{{d}^{2}}}{d}=d$. Suy ra $e\in A$ nhưng $e\notin B$ Do đó $e=b\Rightarrow \dfrac{{{d}^{2}}}{b-d}=b=>{{d}^{2}}={{b}^{2}}-bd=>5{{d}^{2}}=4{{b}^{2}}-4bd+{{d}^{2}}={{(2b-d)}^{2}}$ (mâu thuẫn vì VP là số chính phương, VT không là số chính phương) |
||
|
Vậy $b\ge 2d\Rightarrow 2d\le b\le 2a\Rightarrow d\le a$. Mà $a\le d$($a$ và $d$ lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của B) nên $a=d\Rightarrow b=2a$. |
||
|
Do đó$A=\left\{ a;2a \right\}.$ Kiểm tra lại ta thấy $A$ thỏa mãn đề bài. Vì $a\in S$ và $2a\in S$ nên $2\le 2a\le 2018\Rightarrow 1\le a\le 1009$ Vậy số tập con A thỏa mãn đề bài là 1009 tập. |
||
|
Câu 6. (1,0 điểm) |
|
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất. |
|
|
Không mất tổng quát giả sử:$AB\le AC$. Gọi $B'$ là điểm chính giữa cung $\overset\frown{ABC}\Rightarrow AB'=CB'$. Trên tia đối của $BC$ lấy điểm $~A$ sao cho:$BA=BA$ $\Rightarrow AB+BC=CA'$ |
|
|
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} $\Rightarrow \Delta ABB=\Delta ABB\Rightarrow A'B'=B'A$ |
||
|
$\Rightarrow B'A+B'C=B'A'+B'C\ge A'C=AB+BC~$ ($BA+BC$ không đổi vì $B,A,C$ cố định). Dấu “=” xảy ra khi $B$ trùng với $B$. |
||
|
Tương tự nếu gọi $D$ là điểm chính giữa cung $\overset\frown{ADC}$ thì ta cũng có$AD+CD~\ge AD+CD$. Dấu “=” xảy ra khi $D$ trùng với $D$ . Vậy chu vi tứ giác $ABCD$ lớn nhất khi $B,D$ là các điểm chính giữa các cung $\overset\frown{AC}$ của đường tròn $\left( O \right)$. |
