|
CÂU |
Ý |
NỘI DUNG |
|
Câu 1. (2,0đ)
|
|
Cho biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{5-\sqrt{x}}-\dfrac{3x+4\sqrt{x}-5}{x-4\sqrt{x}-5},(x\ge 0;x\ne 25)$. a) Rút gọn $P.$ Tìm các số thực $x$ để $P>-2$. b) Tìm các số tự nhiên $x$ là số chính phương sao cho $P$ là số nguyên. |
|
a ( 1.5 điểm) |
$P=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{5-\sqrt{x}}-\dfrac{3x+4\sqrt{x}-5}{x-4\sqrt{x}-5}=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{5-\sqrt{x}}-\dfrac{3x+4\sqrt{x}-5}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-5 \right)}$ |
|
|
$=\dfrac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-5)+(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}+1)-(3x+4\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-5)}$ |
||
|
$=\dfrac{-x-3\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-5)}$ |
||
|
$=-\dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-5)}=-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ |
||
|
Ta có $P > - 2 \Leftrightarrow - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 5}} > - 2 \Leftrightarrow 2 - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 5}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} |
||
|
+ Với $\sqrt{x}<5\Leftrightarrow 0\le x<25$. + Với $\sqrt{x}>12\Leftrightarrow x>144$. |
||
|
b ( 0.5 điểm) |
Ta có $x$ là số chính phương nên $\sqrt{x}\in \mathbb{N}$, và $\sqrt{x}-5\ge -5$. Khi đó $P=-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}=-1-\dfrac{7}{\sqrt{x}-5}\in \mathbb{Z}$ |
|
|
$\Rightarrow \sqrt{x}-5$ là ước của 7. Suy ra $\sqrt{x}-5\in \left\{ -1;1;7 \right\}$. +) $\sqrt{x}-5=-1\Rightarrow x=16$ +) $\sqrt{x}-5=1\Rightarrow x=36$ +) $\sqrt{x}-5=7\Rightarrow x=144$ Vậy giá trị của $x$ cần tìm là $16;36;144$. |
||
|
Câu 2 (1.5 điểm |
|
a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $(d):y=-2x+3$ và Parabol $(P):y={{x}^{2}}$. Tìm tọa độ các giao điểm $A,B$ của $(d)$và $(P)$. Tính độ dài đường cao $OH$ của tam giác $OAB$. b) Cho phương trình: ${{x}^{2}}-{{m}^{2}}x+m+1=0$ (1), $m$ là tham số. Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên. |
|
a (0.75 điểm) |
Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$và $(P)$ là: $ - 2x + 3 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} |
|
|
+ Với $x=1\Rightarrow y=1$. + Với $x=-3\Rightarrow y=9$. Vậy tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là $A(1;1),B(-3;9)$. |
||
|
Gọi $C,D$ lần lượt là giao điểm của $(d)$ và các trục $\text{Ox},Oy$ . Khi đó $C\left( \dfrac{3}{2};0 \right),D\left( 0;3 \right)$. Đường cao $OH$ của tam giác $OAB$ cũng chính là đường cao $OH$ của tam giác vuông $OCD$.
|
||
|
Ta có $OC=\dfrac{3}{2};OD=3\Rightarrow OH=\dfrac{OC.OD}{\sqrt{O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}.3}{\sqrt{{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$. Vậy $OH=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$. |
||
|
b ( 0.75 điểm) |
Phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta ={{m}^{4}}-4m-4$ là số chính phương. |
|
|
+ Với $m=0$, hoặc $m=1$ thì $\Delta <0$ (loại). + Với $m=2$ thì $\Delta =4={{2}^{2}}$ (thỏa mãn). |
||
|
+ Với $m\ge 3$ thì $2m(m-2)>5\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-5>0$ $\Leftrightarrow \Delta -(2{{m}^{2}}-4m-5)<\Delta <\Delta +4m+4$ $\Leftrightarrow {{m}^{4}}-2{{m}^{2}}+1<\Delta <{{m}^{4}}$ $\Leftrightarrow {{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}<\Delta <{{\left( {{m}^{2}} \right)}^{2}}$ $\Rightarrow \Delta $ không chính phương. Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm. |
||
|
Câu 3 (2 điểm) |
|
a) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} b) Giải phương trình $x+16-6\sqrt{2x+1}=2\sqrt{5-x}$. |
|
a (1.0 điểm) |
$\left\{ \begin{array}{l} xy - \frac{x}{y} = \frac{{16}}{3}\\ xy - \frac{y}{x} = \frac{9}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy - \frac{x}{y} = \frac{{16}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{5}{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right.$ |
|
|
Giải (2) $\Leftrightarrow 6{{y}^{2}}-6{{x}^{2}}=5xy\Leftrightarrow (2x+3y)(3x-2y)=0$. |
||
|
* Nếu $2x+3y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3y}{2}$. Thay vào (1) ta được $y.\dfrac{-3y}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{16}{3}$. |
||
|
$\Leftrightarrow $ $\dfrac{-3{{y}^{2}}}{2}=\dfrac{23}{6}$ (phương trình vô nghiệm). |
||
|
* Nếu $3x-2y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2y}{3}$. Thay vào (1) ta được ${{y}^{2}}=9\Leftrightarrow y=\pm 3$. |
||
|
+ Với $y=3\Rightarrow x=2$ (TM). + Với $y=-3\Rightarrow x=-2$ (TM). Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: $\left( x;y \right)=\left( 2;3 \right);\left( x;y \right)=\left( -2;-3 \right)$. |
||
|
b (1.0 điểm) |
ĐK: $\dfrac{-1}{2}\le x\le 5$. |
|
|
$(*)\Leftrightarrow \left( \left( 2x+1 \right)-6\sqrt{2x+1}+9 \right)+\left( 1-2\sqrt{5-x}+\left( 5-x \right) \right)=0$. |
||
| $ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 1} - 3} \right)^2} + {\left( {1 - \sqrt {5 - x} } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {2x + 1} - 3 = 0\\ 1 - \sqrt {5 - x} = 0 \end{array} \right.$ |
||
|
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm $x=4$. |
