Đáp án – đề 13 – trang 1

CÂU

Ý

NỘI DUNG

Câu 1.

$2,0đ$

Cho biểu thức $P=dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+1}-dfrac{sqrt{x}+3}{5-sqrt{x}}-dfrac{3x+4sqrt{x}-5}{x-4sqrt{x}-5},$xge0;xne25$$.

a) Rút gọn $P.$ Tìm các số thực $x$ để $P>-2$.

b) Tìm các số tự nhiên $x$ là số chính phương sao cho $P$ là số nguyên.

a

( 1.5 điểm)

$P=dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+1}-dfrac{sqrt{x}+3}{5-sqrt{x}}-dfrac{3x+4sqrt{x}-5}{x-4sqrt{x}-5}=dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+1}-dfrac{sqrt{x}+3}{5-sqrt{x}}-dfrac{3x+4sqrt{x}-5}{left$sqrtx+1right$left$sqrtx-5right$}$

$=dfrac{$sqrtx+2$$sqrtx-5$+$sqrtx+3$$sqrtx+1$-$3x+4sqrtx-5$}{$sqrtx+1$$sqrtx-5$}$

$=dfrac{-x-3sqrt{x}-2}{$sqrtx+1$$sqrtx-5$}$

$=-dfrac{$sqrtx+1$$sqrtx+2$}{$sqrtx+1$$sqrtx-5$}=-dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-5}$

Ta có $P >  – 2 Leftrightarrow  – frac{{sqrt x  + 2}}{{sqrt x  – 5}} >  – 2 Leftrightarrow 2 – frac{{sqrt x  + 2}}{{sqrt x  – 5}} > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sqrt x  < 5\
sqrt x  > 12
end{array} right.$

+ Với $sqrt{x}<5Leftrightarrow 0le x<25$.

+ Với $sqrt{x}>12Leftrightarrow x>144$.

b

$0.5điểm$

Ta có $x$ là số chính phương nên $sqrt{x}in mathbb{N}$, và $sqrt{x}-5ge -5$.  

Khi đó $P=-dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-5}=-1-dfrac{7}{sqrt{x}-5}in mathbb{Z}$

$Rightarrow sqrt{x}-5$ là ước của 7. Suy ra $sqrt{x}-5in left{ -1;1;7 right}$.

+) $sqrt{x}-5=-1Rightarrow x=16$

+) $sqrt{x}-5=1Rightarrow x=36$

+) $sqrt{x}-5=7Rightarrow x=144$

Vậy giá trị của $x$ cần tìm là $16;36;144$.

Câu 2 (1.5 điểm

a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $$d$:y=-2x+3$ và Parabol $$P$:y={{x}^{2}}$. Tìm tọa độ các giao điểm $A,B$ của $$d$$và $$P$$. Tính độ dài đường cao $OH$ của tam giác $OAB$.

b) Cho phương trình: ${{x}^{2}}-{{m}^{2}}x+m+1=0$ $1$, $m$ là tham số. Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình $1$ có nghiệm nguyên.

a

$0.75điểm$

Phương trình hoành độ giao điểm của $$d$$và $$P$$ là:

$ – 2x + 3 = {x^2} Leftrightarrow {x^2} + 2x – 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x =  – 3
end{array} right.$

+ Với $x=1Rightarrow y=1$.

+ Với $x=-3Rightarrow y=9$.

Vậy tọa độ giao điểm của $$d$$ và $$P$$ là $A$1;1$,B$-3;9$$.

Gọi $C,D$ lần lượt là giao điểm của $$d$$ và các trục $text{Ox},Oy$ . Khi đó $Cleft$dfrac32;0right$,Dleft$0;3right$$.

Đường cao $OH$ của tam giác $OAB$ cũng chính là đường cao $OH$ của tam giác vuông $OCD$.

Ta có $OC=dfrac{3}{2};OD=3Rightarrow OH=dfrac{OC.OD}{sqrt{O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}}}=dfrac{dfrac{3}{2}.3}{sqrt{{{left$dfrac32right$}^{2}}+{{3}^{2}}}}=dfrac{3sqrt{5}}{5}$.

Vậy $OH=dfrac{3sqrt{5}}{5}$.

b

(

0.75 điểm)

Phương trình có nghiệm nguyên khi $Delta ={{m}^{4}}-4m-4$ là số chính phương.

+ Với $m=0$, hoặc $m=1$  thì $Delta <0$ $loại$.                               

+ Với $m=2$ thì $Delta =4={{2}^{2}}$ $thỏamãn$.

+ Với $mge 3$ thì $2m$m-2$>5Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-5>0$

$Leftrightarrow Delta -$2m^2-4m-5$<Delta <Delta +4m+4$ 

$Leftrightarrow {{m}^{4}}-2{{m}^{2}}+1<Delta <{{m}^{4}}$

$Leftrightarrow {{left$m^2-1right$}^{2}}<Delta <{{left$m^{2}right$}^{2}}$

$Rightarrow Delta $ không chính phương.

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Câu 3 $2điểm$

a) Giải hệ phương trình:  $left{ begin{array}{l}
xy – frac{x}{y} = frac{{16}}{3}\
xy – frac{y}{x} = frac{9}{2}
end{array} right.$

 b) Giải phương trình $x+16-6sqrt{2x+1}=2sqrt{5-x}$.

a

$1.0điểm$

Giải $2$ $Leftrightarrow 6{{y}^{2}}-6{{x}^{2}}=5xyLeftrightarrow $2x+3y$$3x-2y$=0$.

* Nếu $2x+3y=0Leftrightarrow x=dfrac{-3y}{2}$.

Thay vào $1$ ta được $y.dfrac{-3y}{2}+dfrac{3}{2}=dfrac{16}{3}$.

 $Leftrightarrow $ $dfrac{-3{{y}^{2}}}{2}=dfrac{23}{6}$ $phươngtrìnhvônghiệm$.

* Nếu $3x-2y=0Leftrightarrow x=dfrac{2y}{3}$.

Thay vào $1$ ta được ${{y}^{2}}=9Leftrightarrow y=pm 3$.

+ Với $y=3Rightarrow x=2$   $TM$.

+ Với $y=-3Rightarrow x=-2$  $TM$.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: $left$x;yright$=left$2;3right$;left$x;yright$=left$-2;-3right$$.

b

$1.0điểm$

ĐK: $dfrac{-1}{2}le xle 5$.

$$\ast$Leftrightarrow left$left(2x+1right$-6sqrt{2x+1}+9 right)+left$1-2sqrt5-x+left(5-xright$ right)=0$.

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sqrt {2x + 1}  = 3\
sqrt {5 – x}  = 1
end{array} right. Leftrightarrow x = 4$TM$$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm $x=4$.