|
Câu |
ý |
Nội dung |
Điểm |
|
|
Câu 1 (2,0đ) |
1. (1,0đ) |
Với 0 < a < 1, ta có: $Q=\left( \dfrac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\dfrac{1-a}{\sqrt{1-{{a}^{2}}}-1+a} \right).\left( \sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-1}-\dfrac{1}{a} \right)\sqrt{{{a}^{2}}-2a+1}$ $=\left( \dfrac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\dfrac{\sqrt{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}}{\sqrt{\left( 1-a \right)\left( 1+a \right)}-\sqrt{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}} \right).\left( \sqrt{\dfrac{1-{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-\dfrac{1}{a} \right)\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}$ $=\left( \dfrac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\dfrac{\sqrt{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}}{\sqrt{\left( 1-a \right)}\left( \sqrt{1+a}-\sqrt{1-a} \right)} \right).\left( \dfrac{\sqrt{\left( 1-a \right)\left( 1+a \right)}}{a}-\dfrac{1}{a} \right)\left| a-1 \right|$ |
0,5 |
|
|
$=\left( \dfrac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\dfrac{\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}} \right).\dfrac{\sqrt{\left( 1-a \right)\left( 1+a \right)}-1}{a}\left( 1-a \right)$ $=\dfrac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}.\dfrac{2\sqrt{\left( 1-a \right)\left( 1+a \right)}-\left( 1+a \right)-\left( 1-a \right)}{2a}\left( 1-a \right)$ |
0,5 |
|||
|
$=\dfrac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}.\dfrac{-{{\left( \sqrt{1+a}-\sqrt{1-a} \right)}^{2}}}{2a}\left( 1-a \right)$ $=-\dfrac{\left( \sqrt{1+a}+\sqrt{1-a} \right)\left( \sqrt{1+a}-\sqrt{1-a} \right)}{2a}\left( 1-a \right)$ $=-\dfrac{\left( 1+a \right)-\left( 1-a \right)}{2a}\left( 1-a \right)=-\dfrac{2a}{2a}\left( 1-a \right)=a-1.$ |
0,5 |
|||
|
2. (1,0đ) |
Do $1>a>0\Rightarrow 0>a-1>-1\Rightarrow 1>{{\left( a-1 \right)}^{2}}>0.$ |
0,25 |
||
|
Xét ${{Q}^{3}}-Q=\left( a-1 \right)\left( {{\left( a-1 \right)}^{2}}-1 \right)>0$ .Vậy ${{Q}^{3}}>Q.$ |
0,25 |
|||
|
|
||||
|
Câu 2 (2,0đ) |
1. (1,0đ) |
Đk: $\left\{ \begin{array}{l} |
0,25 |
|
|
Với đk trên, pt đã cho tương đương với $x\left( \sqrt{9-x}+3 \right)=2x\left( \sqrt{x+9}+3 \right)$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} |
0,25 |
|||
|
Đặt $a=\sqrt{9-x},\,b=\sqrt{9+x}$ ta có $a,\,b\ge 0.$Từ (*), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} Thay (1) vào (2) suy ra ${\left( {2b + 3} \right)^2} + {b^2} + 18 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} |
0,25 |
|||
|
Với $b=-3$ loại. Với $b=\dfrac{3}{5}\Rightarrow x=\dfrac{-216}{25}$ . Thử lại, phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ \dfrac{-216}{25};0 \right\}.$ |
0,25 |
|||
|
2. (1,0đ) |
Tính được $A\left( -\sqrt{m};m \right),B\left( \sqrt{m};m \right),C\left( m;{{m}^{2}} \right),D\left( -m;{{m}^{2}}. \right)$ |
0,25 |
||
|
Tính được ${{S}_{\Delta OCD}}={{m}^{3}}$ ;${{S}_{ABCD}}=\left( m-{{m}^{2}} \right)\left( \sqrt{m}+m \right)$ .( do $1>m>0$) |
0,25 |
|||
|
Do ${{S}_{ABCD}}=9.{{S}_{\Delta OCD}}\Leftrightarrow \left( m-{{m}^{2}} \right)\left( \sqrt{m}+m \right)=9{{m}^{3}}$ $\Leftrightarrow 10m\sqrt{m}+m-\sqrt{m}-1=0$ |
0,25 |
|||
|
Đặt $\sqrt{m}=t>0\Rightarrow 10{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-t-1=0\Leftrightarrow \left( t-\dfrac{1}{2} \right)\left( 10{{t}^{2}}+6t+2 \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$ Suy ra $m=\dfrac{1}{4}$. Kết luận, $m=\dfrac{1}{4}$ là giá trị cần tìm. |
0,25 |
|||
|
Câu 3 (1,0đ) |
|
TH1: nếu $x=2k\,+1\,\left( k\in \mathbb{Z},k\ge 0 \right)$, ta có pt : ${{7}^{2k+1}}={{3.2}^{y}}+1.$ +)Nếu $k=0$ suy ra $x=1,y=1$ là nghiệm cần tìm. |
0,25 |
|
|
+)Nếu $k\ge 1$ suy ra ${{3.2}^{y}}+1\ge {{7}^{3}}\Rightarrow y\ge 2\Rightarrow {{2}^{y}}\equiv 0\left( mo\text{d}4 \right).$ Xét mod 4 cả hai vế thì có: ${{7}^{2k+1}}={{49}^{k}}.7\equiv 3\left( mo\text{d}4 \right).$ ${{3.2}^{y}}+1\equiv 1\left( mo\text{d}4 \right).$ Suy ra pt vô nghiệm. |
0,25 |
|||
|
TH2: $x=2k$ ( với $k\in \mathbb{Z},k\ge 1$) khi đó ${{7}^{2k}}={{3.2}^{y}}+1\Leftrightarrow {{7}^{2k}}-1={{3.2}^{y}}\Leftrightarrow \left( {{7}^{k}}-1 \right)\left( {{7}^{k}}+1 \right)={{3.2}^{y}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$ Do ${{7}^{k}}-1\equiv 0\left( mo\text{d}3 \right)$kết hợp với (1) suy ra ${{7}^{k}}+1={{2}^{m\,\,\,\,}}\,\left( m\in {{\mathbb{Z}}_{+}} \right)$ Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( {{2}^{m}}-2 \right){{2}^{m}}={{3.2}^{y}}\Leftrightarrow \left( {{2}^{m-1}}-1 \right){{2}^{m+1}}={{3.2}^{y}}$ |
0,25 |
|||
|
Do ${{2}^{m-1}}-1$ lẻ và ${2^{m + 1}}$ chia hết cho $3$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l} Thử lại, suy ra có hai cặp nghiệm $\left( 1;1 \right),\,\,\left( 2;4 \right)$ thỏa mãn yêu cầu. ( có thể không cần trình bày theo ngôn ngữ mod) |
0,25 |
|||
