6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
6.1.1. Hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a\ne 0 \right)$
|
TRƯỜNG HỢP |
$a>0$ |
$a<0$ |
|
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có 2 nghiệm phân biệt
|
|
|
|
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có nghiệm kép
|
|
|
|
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ vô nghiệm |
|
|
6.1.2. Hàm số trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\text{ }\left( a\ne 0 \right)$
|
TRƯỜNG HỢP |
$a>0$ |
$a<0$ |
|
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có 3 nghiệm phân biệt (ab<0)
|
|
|
|
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có 1 nghiệm. |
|
|
6.1.3. Hàm số nhất biến $y=\frac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left( c\ne 0,\text{ }ad-bc\ne 0 \right)$
|
$D=ad-bc>0$ |
$D=ad-bc<0$ |
|
|
|
6.2. Một số phép biến đổi đồ thị
6.2.1. Dạng 1
Từ đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$ suy ra đồ thị $\left( {{C}'} \right):y=f\left( \left| x \right| \right)$.
Ta có:$y = f\left( {\left| x \right|} \right) = \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right){\rm{ khi }}x \ge 0\\
f\left( { - x} \right){\rm{ khi }}x < 0
\end{array} \right.$
và $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là hàm chẵn nên đồ thị $\left( {{C}'} \right)$ nhận Oy làm trục đối xứng.
.* Cách vẽ $\left( {C'} \right)$ từ $\left( {C} \right)$:
- Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$.
- Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của $\left( {C} \right)$, lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.
|
Ví dụ: Từ đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x$ suy ra đồ thị $\left( {C'} \right):y = {\left| x \right|^3} - 3\left| x \right|$. Biến đổi $\left( {C} \right)$:
|
$\left( C \right):y = {x^3} - 3x$ $\left( {C'} \right):y = {\left| x \right|^3} - 3\left| x \right|$ |
6.2.2. Dạng 2
Từ đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ suy ra đồ thị $\left( {C'} \right):y = \left| {f\left( x \right)} \right|$.
Ta có: $y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right){\rm{ khi }}f\left( x \right) \ge 0\\
- f\left( x \right){\rm{ khi }}f\left( x \right) < 0
\end{array} \right.$
* Cách vẽ $\left( {C'} \right)$ từ $\left( {C} \right)$:
- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):$y = f\left( x \right)$.
- Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
|
Ví dụ: Từ đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x$ suy ra đồ thị $y = \left| {{x^3} - 3x} \right|$. Biến đổi $\left( C \right)$:
|
$\left( {C'} \right):y = \left| {{x^3} - 3x} \right|$ $\left( C \right):y = {x^3} - 3x$ |
$\left( {C''} \right):y = \left| {{{\left| x \right|}^3} - 3\left| x \right|} \right|$Chú ý với dạng: $y=\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|$ ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị $y=f\left( \left| x \right| \right)$ và $y=\left| f\left( x \right) \right|$
|
Ví dụ: Từ đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ suy ra đồ thị $y=\left| {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right| \right|$. Biến đổi $\left( C \right)$ để được đồ thị $\left( {{C}'} \right):y={{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|$. Biến đổi $\left( {{C}'} \right):y={{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right|$ ta được đồ thị $\left( {{{C}'}'} \right):y=\left| {{\left| x \right|}^{3}}-3\left| x \right| \right|$. |
|
6.2.3. Dạng 3
Từ đồ thị $\left( C \right):y=u\left( x \right).v\left( x \right)$ suy ra đồ thị $\left( {{C}'} \right):y=\left| u\left( x \right) \right|.v\left( x \right)$.
Ta có:$y = \left| {u\left( x \right)} \right|.v\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
u\left( x \right).v\left( x \right) = f\left( x \right){\rm{ khi }}u\left( x \right) \ge 0\\
- u\left( x \right).v\left( x \right) = f\left( x \right){\rm{ khi }}u\left( x \right) < 0
\end{array} \right.$
* Cách vẽ $\left( {{C}'} \right)$ từ $\left( C \right)$:
- Giữ nguyên phần đồ thị trên miền $u\left( x \right)\ge 0$ của đồ thị $\left( C \right):y=f\left( x \right)$.
- Bỏ phần đồ thị trên miền $u\left( x \right)<0$của $\left( C \right)$, lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Ví dụ
|
a) Từ đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} + 1$ suy ra đồ thị $\left( {C'} \right):y = \left| {x - 1} \right|\left( {2{x^2} - x - 1} \right)$ |
b) Từ đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right) = \frac{x}{{x - 1}}$ suy ra đồ thị $\left( {C'} \right):y = \frac{x}{{\left| {x - 1} \right|}}$ |
|
$y = \left| {x - 1} \right|\left( {2{x^2} - x - 1} \right) = \left\{ \begin{array}{l} Đồ thị (C’):
Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… |
$y = \frac{x}{{\left| {x - 1} \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}
Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác. |
