5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
5.1. Tích phân hàm hữu tỉ
5.1.1. Dạng 1
I = $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{ax+b}}=frac{1}{a}intlimits_{alpha }^{beta }{frac{adx}{ax+b}}left. =frac{1}{a}ln left| ax+b right| right|_{alpha }^{beta }$.
Chú ý: Nếu I = $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{{{
5.1.2. Dạng 2
$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}quad left
Xét $Delta ={{b}^{2}}-4ac$.
- Nếu $Delta >0$thì ${{x}_{1}}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a};{{x}_{2}}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}$
$frac{1}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{1}{a
$begin{array}{l}
I = frac{1}{{a
beta \
alpha
end{array}} right.\
,,,, = frac{1}{{a
beta \
alpha
end{array}
end{array}$
- Nếu $Delta =0$ thì $frac{1}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{1}{a{{
}^{2}}}quad left $
thì I = $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}=}frac{1}{a}intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{{{
- Nếu $Delta <0$thì $I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{aleft
}}$
Đặt $x+frac{b}{2a}=sqrt{frac{-Delta }{4{{a}^{2}}}}tan tRightarrow dx=frac{1}{2}sqrt{frac{-Delta }{{{a}^{2}}}}left
5.1.3. Dạng 3
$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx,quad left
- Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm $A$ và $B$ sao cho:
$frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{A
- Ta có I= $intlimits_{alpha }^{beta }{{}}$$frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx=intlimits_{alpha }^{beta }{{}}frac{A
}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx+intlimits_{alpha }^{beta }{{}}frac{B}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx$
Tích phân $intlimits_{alpha }^{beta }{{}}frac{A
Tích phân $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}$ thuộc dạng 2.
5.1.4. Dạng 4
$I=intlimits_{a}^{b}{frac{P
- Nếu bậc của $Pleft
$ lớn hơn hoặc bằng bậc của $Qleft $ thì dùng phép chia đa thức. - Nếu bậc của $Pleft
$ nhỏ hơn bậc của $Qleft $ thì có thể xét các trường hợp:
- Khi $Qleft
$ chỉ có nghiệm đơn ${{alpha }_{1}},{{alpha }_{2}},…,{{alpha }_{n}}$thì đặt
$frac{P
- Khi $Qleft
$có nghiệm đơn và vô nghiệm
$Q
$frac{P
- Khi $Qleft
$có nghiệm bội
$Q
$frac{P
$Q
$frac{P
5.2. Tích phân hàm vô tỉ
$intlimits_{a}^{b}{R
- $Rleft
$ Đặt $x=acos2t,text{ }tin left $ - $Rleft
$ Đặt $x=left| a right|sin t$ hoặc $x=left| a right|cos t$ - $Rleft
$ Đặt $t=sqrt {frac{ax+b}{cx+d}}$ - $Rleft
right)=frac{1}{ sqrt{alpha {{x}^{2}}+beta x+gamma }}$ Với $left ’=text{ }kleft $
Đặt $t=sqrt{alpha {{x}^{2}}+beta x+gamma }$, hoặc Đặt $t=frac{1}{ax+b}$
- $Rleft
$ Đặt $x=left| a right|tan t$, $tin left $ - $Rleft
$ Đặt $x=frac{left| a right|}{cos x}$, $~tin backslash left{ frac{pi }{2} right}$ - $Rleft
$ Gọi $k=BSCNNleft $ . Đặt $x={{t}^{k}}$
5.2.1. Dạng 1
$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{1}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{2}}+bx+c}}dxquad left
Từ :${rm{f
x + frac{b}{{2a}} = u\
frac{{sqrt Delta }}{{2a}} = K
end{array} right. leftrightarrow du = dx$
Khi đó ta có :
- Nếu $Delta <0,a>0Rightarrow f
=aleft Leftrightarrow sqrt{f }=sqrt{a}.sqrt{{{u}^{2}}+{{k}^{2}}}$ - Nếu $Delta = 0 Rightarrow f
= a{left ^2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a > 0\
sqrt {f } = sqrt a left| {x + frac{b}{{2a}}} right| = sqrt a .left| u right|
end{array} right.$ - Nếu : $Delta >0$.
- Với $a>0$ : $f
=aleft left Leftrightarrow sqrt{f }=sqrt{a}.sqrt{left left }$ - Với $a<0$ : $f
=-aleft left Leftrightarrow sqrt{f }=sqrt{-a}.sqrt{left left }$
Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :
- Phương pháp :
* Trường hợp : $Delta <0,a>0Rightarrow f
Khi đó đặt :$sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c} = t – sqrt a .x$
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
bx + c = {t^2} – 2sqrt a x\
x = alpha to t = {t_0},x = beta to t = {t_1}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = frac{{{t^2} – c}}{{b + 2sqrt a }};dx = frac{2}{{left
t – sqrt a .x = t – sqrt a frac{{{t^2} – c}}{{b + 2sqrt a }}
end{array} right.$
* Trường hợp :
$Delta = 0 Rightarrow f
a > 0\
sqrt {f
end{array} right.$
Khi đó : $I = intlimits_alpha ^beta {frac{1}{{sqrt a left| {x + frac{b}{{2a}}} right|}}dx = frac{1}{{sqrt a }}intlimits_alpha ^beta {frac{1}{{left| {x + frac{b}{{2a}}} right|}}dx = left[ begin{array}{l}
frac{1}{{sqrt a }}ln left
beta \
alpha
end{array}} right.:x + frac{b}{{2a}} > 0\
– frac{1}{{sqrt a }}ln left
beta \
alpha
end{array}} right.:x + frac{b}{{2a}} < 0
end{array} right.} } $
* Trường hợp : $Delta > 0,a > 0$. Đặt : $sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c} = sqrt {aleft
left
left
end{array} right.$
* Trường hợp : $Delta > 0,a < 0$. Đặt : $sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c} = sqrt {aleft
left
left
end{array} right.$
5.2.2. Dạng 2
$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{mx+n}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{2}}+bx+c}}dxquad left
- Phương pháp :
- Bước 1:
Phân tích $f
- Bước 2:
Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số $A,B$
- Bước 3:
Giải hệ tìm $A,B$ thay vào
- Bước 4 :
Tính$I = 2Aleft
beta \
alpha
end{array} + Bintlimits_alpha ^beta {frac{1}{{sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c} }}dx} } right.$
Trong đó $intlimits_alpha ^beta {frac{1}{{sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^2} + bx} + c}}dxquad left
5.2.3. Dạng 3
$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{1}{left
- Phương pháp :
- Bước 1:
Phân tích : $frac{1}{left
- Bước 2:
Đặt :$frac{1}{y} = x + frac{n}{m} Rightarrow left{ begin{array}{l}
y = frac{1}{{x + t}}left
x = frac{1}{y} – t Rightarrow {rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c = a{left
end{array} right.$
- Bước 3:
Thay tất cả vào
5.2.4. Dạng 4
$I=intlimits_{alpha }^{beta }{Rleft
- Phương pháp :
- Bước 1:
Đặt : $t=sqrt
- Bước 2:
Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của
- Bước 3:
Tính vi phân hai vế : $dx=varphi ‘left
- Bước 4:
Tính : $intlimits_{alpha }^{beta }{Rleft
5.3. Tích phân hàm lượng giác
5.3.1. Một số công thức lượng giác
5.3.1.1. Công thức cộng
$cos
$sin
$tan
5.3.1.2. Công thức nhân đôi
$cos 2a={{cos }^{2}}a{{sin }^{2}}a=2{{cos }^{2}}a1=12{{sin }^{2}}a=frac{1-{{tan }^{2}}a}{1+{{tan }^{2}}a}$
$sin 2a=2sin a.cos a=frac{2tan a}{1+{{tan }^{2}}a}$ ; $tan 2a = frac{{2{rm{tana}}}}{{1 – {{tan }^2}a}}$ $cos 3alpha = 4{cos ^3}alpha – 3cos alpha $ ; $sin 3alpha = 3sin alpha – 4{sin ^3}alpha $
5.3.1.3. Công thức hạ bậc
5.3.1.4. Công thức tính theo $operatorname{t}$
Với $t = frac{{tan alpha }}{2}$ Thì $sin alpha = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$ ; $cos alpha = frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$ ; $tan alpha = frac{{2t}}{{1 – {t^2}}}$
5.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng
5.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thành tích
|
Công thức thường dùng:
begin{array}{l}
{cos ^4}alpha + {sin ^4}alpha = frac{{3 + cos 4alpha }}{4}\
{cos ^6}alpha + {sin ^6}alpha = frac{{5 + 3cos 4alpha }}{8}
end{array}
Hệ quả:
begin{array}{l}
cos alpha + sin alpha = sqrt 2 cos left
cos alpha – sin alpha = sqrt 2 cos left
end{array}
5.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác
- Nếu gặp $I = intlimits_a^b {f
.cos xdx} $ ta đặt t = sinx. - Nếu gặp dạng $I = intlimits_a^b {f
.sin xdx} $ ta đặt t = cosx.
- Nếu gặp dạng$I = intlimits_a^b {f
frac{{dx}}{{{{cos }^2}x}}} $ ta đặt t = tanx.
- Nếu gặp dạng $I = intlimits_a^b {f
frac{{dx}}{{{{sin }^2}x}}} $ ta đặt t = cotx.
5.3.2.1. Dạng 1
${I_1} = intlimits_a^b {{{
* Phương pháp
- Nếu $n$ chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
- Nếu $n=3$ thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi
- Nếu $3n$ lẻ $
$ thì thực hiện biến đổi:
5.3.2.2. Dạng 2
$I = int {{{sin }^m}x{{cos }^n}xdx} ,,,,,,left
* Phương pháp
-
- Trường hợp 1: $m,n$ là các số nguyên
a. Nếu $m$ chẵn, $n$ chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
b. Nếu $m$ chẵn, $n$ lẻ $
c. Nếu $m$ lẻ $left
d. Nếu $m$ lẻ, $n$ lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.
-
- Nếu $m,n$ là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt $u=sinx$
Tích phân
5.3.2.3. Dạng 3
${I_1} = int {{{