Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js

Bài 5: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

5.1. Tích phân hàm hữu tỉ

5.1.1. Dạng 1

I = $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{ax+b}}=frac{1}{a}intlimits_{alpha }^{beta }{frac{adx}{ax+b}}left. =frac{1}{a}ln left| ax+b right| right|_{alpha }^{beta }$.    via0

 Chú ý: Nếu I = $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{{{ax+b}^{k}}}}=frac{1}{a}intlimits_{alpha }^{beta }{{{ax+b}^{-k}}.adx}=frac{1}{a1k}.{{ax+b}^{-k+1}}left| _{alpha }^{beta } right.$

5.1.2. Dạng 2

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}quad leftane0right$    $ax2+bx+cne0$vimi$xinleft[alpha;betaright]$

Xét $Delta ={{b}^{2}}-4ac$.

  • Nếu $Delta >0$thì ${{x}_{1}}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a};{{x}_{2}}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}$

$frac{1}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{1}{axx1xx2}=frac{1}{ax1x2}leftfrac1xx1frac1xx2right$ thì :

$begin{array}{l}
I = frac{1}{{ax1x2}}intlimits_alpha ^beta  {leftfrac1xx1frac1xx2right} dx = frac{1}{{ax1x2}}leftlnleft|xx1right|lnleft|xx2right|rightleft| {begin{array}{*{20}{c}}
beta \
alpha 
end{array}} right.\
,,,, = frac{1}{{ax1x2}}ln left| {frac{{x – {x_1}}}{{x – {x_2}}}} right|begin{array}{*{20}{c}}
beta \
alpha 
end{array}
end{array}$

  • Nếu $Delta =0$ thì  $frac{1}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{1}{a{{xx0}^{2}}}quad leftx0=fracb2aright$

thì I = $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}=}frac{1}{a}intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{{{xx0}^{2}}}=-frac{1}{axx0}left| _{alpha }^{beta } right.}$

  • Nếu $Delta <0$thì $I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{aleftleft(x+fracb2aright)2+left(sqrtfracDelta4a2right)2right}}$

Đặt $x+frac{b}{2a}=sqrt{frac{-Delta }{4{{a}^{2}}}}tan tRightarrow dx=frac{1}{2}sqrt{frac{-Delta }{{{a}^{2}}}}left1+tan2trightdt$

5.1.3. Dạng 3

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx,quad leftane0right}$.

trongđó$f(x=frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}$ liên tục trên đoạn $leftalpha;betaright$)

  • Bằng ph­ương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm $A$ và $B$ sao cho:        

              $frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}=frac{Aax2+bx+c’}{a{{x}^{2}}+bx+c}+frac{B}{a{{x}^{2}}+bx+c}$$=frac{A2ax+b}{a{{x}^{2}}+bx+c}+frac{B}{a{{x}^{2}}+bx+c}$       

  • Ta có I= $intlimits_{alpha }^{beta }{{}}$$frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx=intlimits_{alpha }^{beta }{{}}frac{A2ax+b}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx+intlimits_{alpha }^{beta }{{}}frac{B}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx$

Tích phân $intlimits_{alpha }^{beta }{{}}frac{A2ax+b}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx$  = $Aleft. ln ,left| a{{x}^{2}}+bx+c right|  right|_{alpha }^{beta }$

Tích phân $intlimits_{alpha }^{beta }{frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}$   thuộc dạng 2.

 5.1.4. Dạng 4

$I=intlimits_{a}^{b}{frac{Px}{Qx}dx}$ với $Pleftxright$ và $Qleftxright$ là đa thức của $x$.

  • Nếu bậc của $Pleftxright$ lớn hơn hoặc bằng bậc của $Qleftxright$ thì dùng phép chia đa thức.
  • Nếu bậc của $Pleftxright$ nhỏ hơn bậc của $Qleftxright$ thì có thể xét các trường hợp:
  • Khi $Qleftxright$ chỉ có nghiệm đơn ${{alpha }_{1}},{{alpha }_{2}},…,{{alpha }_{n}}$thì đặt

$frac{Px}{Qx}=frac{{{A}_{1}}}{x-{{alpha }_{1}}}+frac{{{A}_{2}}}{x-{{alpha }_{2}}}+…+frac{{{A}_{n}}}{x-{{alpha }_{n}}}$.

  • Khi  $Qleftxright$có nghiệm đơn và vô nghiệm

 $Qx=leftxalpharightleftx2+px+qright,Delta ={{p}^{2}}-4q<0$ thì đặt

$frac{Px}{Qx}=frac{A}{x-alpha }+frac{Bx+C}{{{x}^{2}}+px+q}.$

  • Khi $Qleftxright$có nghiệm bội

$Qx=xalpha{{xbeta}^{2}}$ với a ¹ b thì đặt

$frac{Px}{Qx}=frac{{{A}_{{}}}}{x-{{alpha }_{{}}}}+frac{B}{x-beta }+frac{C}{{{leftxbetaright}^{2}}}$.

$Qx={{xalpha}^{2}}{{xbeta}^{3}}$ với a ¹ b thì đặt

$frac{Px}{{{xalpha}^{2}}{{xbeta}^{3}}}=frac{A}{{{xalpha}^{2}}}+frac{B}{xalpha}+frac{C}{{{xbeta}^{3}}}+frac{D}{{{xbeta}^{2}}}+frac{E}{x-beta }$

5.2. Tích phân hàm vô tỉ

$intlimits_{a}^{b}{Rx,,f(x)dx}$         Trong đó $Rleftx,textfleft(xright right)$ có dạng:

  • $Rleftx,sqrtfracaxa+xright$ Đặt $x=acos2t,text{ }tin left0;,fracpi2right$
  • $Rleftx,sqrta2x2right$ Đặt $x=left| a right|sin t$ hoặc $x=left| a right|cos t$
  • $Rleftx,sqrt[n]fracax+bcx+dright$ Đặt $t=sqrtn{frac{ax+b}{cx+d}}$
  • $Rleftx,fleft(xright right)=frac{1}{ax+bsqrt{alpha {{x}^{2}}+beta x+gamma }}$ Với $leftalphax2+betax+gammaright’=text{ }kleftax+bright$

            Đặt $t=sqrt{alpha {{x}^{2}}+beta x+gamma }$, hoặc Đặt $t=frac{1}{ax+b}$

  • $Rleftx,sqrta2+x2right$ Đặt $x=left| a right|tan t$, $tin leftfracpi2;,fracpi2right$
  • $Rleftx,sqrtx2a2right$ Đặt $x=frac{left| a right|}{cos x}$, $~tin 0;,pibackslash left{ frac{pi }{2} right}$
  • $Rleftsqrt[n1]x;sqrt[n2]x;;sqrt[ni]xright$ Gọi $k=BSCNNleftn1;n2;;niright$ . Đặt $x={{t}^{k}}$

5.2.1. Dạng 1

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{1}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{2}}+bx+c}}dxquad leftane0right}$

Từ :${rm{fx = a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c = aleftleft(x+fracb2aright)2fracDelta4a2right Rightarrow left{ begin{array}{l}
x + frac{b}{{2a}} = u\
frac{{sqrt Delta  }}{{2a}} = K
end{array} right. leftrightarrow du = dx$

Khi đó ta có  :

  • Nếu $Delta <0,a>0Rightarrow fx=aleftu2+k2rightLeftrightarrow sqrt{fx}=sqrt{a}.sqrt{{{u}^{2}}+{{k}^{2}}}$ 1
  • Nếu $Delta  = 0 Rightarrow fx = a{leftx+fracb2aright^2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
    a > 0\
    sqrt {fx}  = sqrt a left| {x + frac{b}{{2a}}} right| = sqrt a .left| u right|
    end{array} right.$ 2
  • Nếu : $Delta >0$.
  • Với $a>0$ : $fx=aleftxx1rightleftxx2rightLeftrightarrow sqrt{fx}=sqrt{a}.sqrt{leftxx1rightleftxx2right}$ 3
  • Với $a<0$ : $fx=-aleftx1xrightleftx2xrightLeftrightarrow sqrt{fx}=sqrt{-a}.sqrt{leftx1xrightleftx2xright}$4

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

  • Phương pháp :

* Trường hợp : $Delta <0,a>0Rightarrow fx=aleftu2+k2rightLeftrightarrow sqrt{fx}=sqrt{a}.sqrt{{{u}^{2}}+{{k}^{2}}}$

Khi đó đặt :$sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c}  = t – sqrt a .x$

$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
bx + c = {t^2} – 2sqrt a x\
x = alpha  to t = {t_0},x = beta  to t = {t_1}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = frac{{{t^2} – c}}{{b + 2sqrt a }};dx = frac{2}{{leftb+2sqrtaright}}tdt\
t – sqrt a .x = t – sqrt a frac{{{t^2} – c}}{{b + 2sqrt a }}
end{array} right.$

* Trường hợp :

$Delta  = 0 Rightarrow fx = a{leftx+fracb2aright^2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a > 0\
sqrt {fx}  = sqrt a left| {x + frac{b}{{2a}}} right| = sqrt a .left| u right|
end{array} right.$

Khi đó : $I = intlimits_alpha ^beta  {frac{1}{{sqrt a left| {x + frac{b}{{2a}}} right|}}dx = frac{1}{{sqrt a }}intlimits_alpha ^beta  {frac{1}{{left| {x + frac{b}{{2a}}} right|}}dx = left[ begin{array}{l}
frac{1}{{sqrt a }}ln leftx+fracb2arightleft| {begin{array}{*{20}{c}}
beta \
alpha 
end{array}} right.:x + frac{b}{{2a}} > 0\
 – frac{1}{{sqrt a }}ln leftx+fracb2arightleft| {begin{array}{*{20}{c}}
beta \
alpha 
end{array}} right.:x + frac{b}{{2a}} < 0
end{array} right.} } $

* Trường hợp : $Delta  > 0,a > 0$. Đặt : $sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c}  = sqrt {aleftxx1rightleftxx2right}  = left[ begin{array}{l}
leftxx1rightt\
leftxx2rightt
end{array} right.$

* Trường hợp : $Delta  > 0,a < 0$. Đặt : $sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c}  = sqrt {aleftx1xrightleftx2xright}  = left[ begin{array}{l}
leftx1xrightt\
leftx2xrightt
end{array} right.$

5.2.2. Dạng 2

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{mx+n}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{2}}+bx+c}}dxquad leftane0right}$

  • Phương pháp :
  • Bước 1:

Phân tích $fx=frac{mx+n}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{text{2}}}+bx+c}}=frac{A.dleftsqrttextatextxtext2+bx+cright}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{text{2}}}+bx+c}}+frac{B}{sqrt{text{a}{{text{x}}^{text{2}}}+bx+c}}quad left1right$

  • Bước 2:

Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số $A,B$

  • Bước 3:

Giải hệ tìm $A,B$ thay vào 1

  • Bước 4 :

Tính$I = 2Aleftsqrtrmarmxrm2+bx+crightleft| {begin{array}{*{20}{c}}
beta \
alpha 
end{array} + Bintlimits_alpha ^beta  {frac{1}{{sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c} }}dx} } right.$2

Trong đó  $intlimits_alpha ^beta  {frac{1}{{sqrt {{rm{a}}{{rm{x}}^2} + bx}  + c}}dxquad leftane0right} $ đã biết cách tính ở trên

5.2.3. Dạng 3

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{frac{1}{leftmx+nrightsqrt{text{a}{{text{x}}^{2}}+bx}+c}dxquad leftane0right}$

  • Phương pháp :
  • Bước 1:  

Phân tích : $frac{1}{leftmx+nrightsqrt{text{a}{{text{x}}^{text{2}}}+bx+c}}=frac{1}{mleftx+fracnmrightsqrt{text{a}{{text{x}}^{text{2}}}+bx+c}}$. 1

  • Bước 2:

  Đặt :$frac{1}{y} = x + frac{n}{m} Rightarrow left{ begin{array}{l}
y = frac{1}{{x + t}}leftt=fracnmright to dy =  – frac{1}{{x + t}}dx\
x = frac{1}{y} – t Rightarrow {rm{a}}{{rm{x}}^{rm{2}}} + bx + c = a{leftfrac1ytright^2} + bleftfrac1ytright + c
end{array} right.$

  • Bước 3:  

Thay tất cả vào 1 thì I có dạng : $I=pm intlimits_{alpha ‘}^{beta ‘}{frac{dy}{sqrt{L{{y}^{2}}+My+N}}}$. Tích phân này chúng ta đã biết cách tính .

5.2.4. Dạng 4

$I=intlimits_{alpha }^{beta }{Rleftx;yrightdx=}intlimits_{alpha }^{beta }{Rleftx;sqrt[m]fracalphax+betagammax+deltarightdx}$

Trongđó:$Rleft(x;yright$ là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và $alpha ,beta ,gamma ,delta $ là các hằng số đã biết )

  • Phương pháp :
  • Bước 1:  

Đặt : $t=sqrtm{frac{alpha x+beta }{gamma x+delta }}$ 1

  • Bước 2:  

Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của 1 ta có dạng $x=varphi lefttright$

  • Bước 3:  

Tính vi phân hai vế : $dx=varphi ‘lefttrightdt$ và đổi cận

  • Bước 4:  

Tính : $intlimits_{alpha }^{beta }{Rleftx;sqrt[m]fracalphax+betagammax+deltarightdx}=intlimits_{alpha ‘}^{beta ‘}{Rleftvarphileft(tright;t right)varphi ‘lefttrightdt}$

5.3. Tích phân hàm lượng giác

5.3.1. Một số công thức lượng giác

5.3.1.1. Công thức cộng

$cos apmb=cos a.cos b~mp sin a.sin b$            

$sin apmb=sin a.cos bpm sin b.cos a$         

$tan apmb=frac{tan apm tan b}{1mp tan a.tan b}$

5.3.1.2. Công thức nhân đôi

$cos 2a={{cos }^{2}}a{{sin }^{2}}a=2{{cos }^{2}}a1=12{{sin }^{2}}a=frac{1-{{tan }^{2}}a}{1+{{tan }^{2}}a}$

$sin 2a=2sin a.cos a=frac{2tan a}{1+{{tan }^{2}}a}$    ;    $tan 2a = frac{{2{rm{tana}}}}{{1 – {{tan }^2}a}}$                                               $cos 3alpha  = 4{cos ^3}alpha  – 3cos alpha $              ;         $sin 3alpha  = 3sin alpha  – 4{sin ^3}alpha $

5.3.1.3. Công thức hạ bậc

 

5.3.1.4. Công thức tính theo $operatorname{t}$

         Với $t = frac{{tan alpha }}{2}$   Thì $sin alpha  = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$  ;  $cos alpha  = frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$ ; $tan alpha  = frac{{2t}}{{1 – {t^2}}}$

5.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng

5.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thành tích

        

 

Công thức thường dùng:

 begin{array}{l}
{cos ^4}alpha  + {sin ^4}alpha  = frac{{3 + cos 4alpha }}{4}\
{cos ^6}alpha  + {sin ^6}alpha  = frac{{5 + 3cos 4alpha }}{8}
end{array}

Hệ quả:

begin{array}{l}
cos alpha  + sin alpha  = sqrt 2 cos leftalphafracpi4right = sqrt 2 sin leftalpha+fracpi4right\
cos alpha  – sin alpha  = sqrt 2 cos leftalpha+fracpi4right =  – sqrt 2 sin leftalphafracpi4right
end{array}

5.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác

  • Nếu gặp $I = intlimits_a^b {fsinx.cos xdx} $ ta đặt t = sinx.
  • Nếu gặp dạng $I = intlimits_a^b {fcosx.sin xdx} $ ta đặt t = cosx.
  • Nếu gặp dạng$I = intlimits_a^b {ftanxfrac{{dx}}{{{{cos }^2}x}}} $ ta đặt t = tanx.
  • Nếu gặp dạng $I = intlimits_a^b {fcotxfrac{{dx}}{{{{sin }^2}x}}} $ ta đặt t = cotx.

5.3.2.1. Dạng 1

${I_1} = intlimits_a^b {{{sinx}^n}dx;} {I_1} = {I_2} = intlimits_a^b {{{cosx}^n}dx} $

* Phương pháp

  • Nếu $n$ chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
  • Nếu $n=3$ thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi
  • Nếu $3n$ lẻ $n=2p+1$ thì thực hiện biến đổi:

5.3.2.2. Dạng 2

$I = int {{{sin }^m}x{{cos }^n}xdx} ,,,,,,leftm,ninNright$    

* Phương pháp

    • Trường hợp 1: $m,n$ là các số nguyên

a. Nếu $m$ chẵn, $n$ chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b. Nếu $m$ chẵn, $n$ lẻ $n=2p+1$ thì biến đổi:

c. Nếu $m$ lẻ $leftm=2p+1right$, $n$ chẳn thì biến đổi:

d. Nếu $m$ lẻ, $n$ lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.

    • Nếu $m,n$ là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt $u=sinx$

 

 Tích phân tính được Û 1 trong 3 số$frac{{m + 1}}{2};frac{{n – 1}}{2};frac{{m + k}}{2}$ là số nguyên

5.3.2.3. Dạng 3

${I_1} = int {{{tanx}^n}dx;{I_2} = int {{{cotx}^n}dx} } $$ninN.$

 

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *