Bài 5: TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

5.1. Tích phân hàm hữu tỉ

5.1.1. Dạng 1

I = $\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{dx}{ax+b}}=\frac{1}{a}\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{adx}{ax+b}}\left. =\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right| \right|_{\alpha }^{\beta }$. (với a≠0)

Chú ý: Nếu I = $\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{dx}{{{(ax+b)}^{k}}}}=\frac{1}{a}\int\limits_{\alpha }^{\beta }{{{(ax+b)}^{-k}}.adx}=\frac{1}{a(1-k)}.{{(ax+b)}^{-k+1}}\left| _{\alpha }^{\beta } \right.$

5.1.2. Dạng 2

$I=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}\quad \left( a\ne 0 \right)$ ($a{{x}^{2}}+bx+c\ne 0$ với mọi $x\in \left[ \alpha ;\ \beta \right]$)

Xét $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$.

Nếu $\Delta >0$thì ${{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

$\frac{1}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{1}{a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})}=\frac{1}{a({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}\left( \frac{1}{x-{{x}_{1}}}-\frac{1}{x-{{x}_{2}}} \right)$ thì :

$\begin{array}{l}
I = \frac{1}{{a({x_1} - {x_2})}}\int\limits_\alpha ^\beta {\left( {\frac{1}{{x - {x_1}}} - \frac{1}{{x - {x_2}}}} \right)} dx = \frac{1}{{a({x_1} - {x_2})}}\left[ {\ln \left| {x - {x_1}} \right| - \ln \left| {x - {x_2}} \right|} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\beta \\
\alpha
\end{array}} \right.\\
\,\,\,\, = \frac{1}{{a({x_1} - {x_2})}}\ln \left| {\frac{{x - {x_1}}}{{x - {x_2}}}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
\beta \\
\alpha
\end{array}
\end{array}$

Nếu $\Delta =0$ thì $\frac{1}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{1}{a{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}}\quad \left( {{x}_{0}}=\frac{-b}{2a} \right)$

thì I = $\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}=}\frac{1}{a}\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{dx}{{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}}=-\frac{1}{a(x-{{x}_{0}})}\left| _{\alpha }^{\beta } \right.}$

Nếu $\Delta <0$thì $I=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{dx}{a\left[ {{\left( x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{\frac{-\Delta }{4{{a}^{2}}}} \right)}^{2}} \right]}}$

Đặt $x+\frac{b}{2a}=\sqrt{\frac{-\Delta }{4{{a}^{2}}}}\tan t\Rightarrow dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-\Delta }{{{a}^{2}}}}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt$

5.1.3. Dạng 3

$I=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx,\quad \left( a\ne 0 \right)}$.

(trong đó $f(x)=\frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}$ liên tục trên đoạn $\left[ \alpha ;\beta \right]$)

Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm $A$ và $B$ sao cho:

$\frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{A(a{{x}^{2}}+bx+c)'}{a{{x}^{2}}+bx+c}+\frac{B}{a{{x}^{2}}+bx+c}$$=\frac{A(2ax+b)}{a{{x}^{2}}+bx+c}+\frac{B}{a{{x}^{2}}+bx+c}$

Ta có I= $\int\limits_{\alpha }^{\beta }{{}}$$\frac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{{}}\frac{A(2ax+b)}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx+\int\limits_{\alpha }^{\beta }{{}}\frac{B}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx$

Tích phân $\int\limits_{\alpha }^{\beta }{{}}\frac{A(2ax+b)}{a{{x}^{2}}+bx+c}dx$ = $A\left. \ln \,\left| a{{x}^{2}}+bx+c \right|\ \right|_{\alpha }^{\beta }$

Tích phân $\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}$ thuộc dạng 2.

5.1.4. Dạng 4

$I=\int\limits_{a}^{b}{\frac{P(x)}{Q(x)}dx}$ với $P\left( x \right)$ và $Q\left( x \right)$ là đa thức của $x$.

Nếu bậc của $P\left( x \right)$ lớn hơn hoặc bằng bậc của $Q\left( x \right)$ thì dùng phép chia đa thức.
Nếu bậc của $P\left( x \right)$ nhỏ hơn bậc của $Q\left( x \right)$ thì có thể xét các trường hợp:

Khi $Q\left( x \right)$ chỉ có nghiệm đơn ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}}$thì đặt

$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{{{A}_{1}}}{x-{{\alpha }_{1}}}+\frac{{{A}_{2}}}{x-{{\alpha }_{2}}}+...+\frac{{{A}_{n}}}{x-{{\alpha }_{n}}}$.

Khi $Q\left( x \right)$có nghiệm đơn và vô nghiệm

$Q(x)=\left( x-\alpha \right)\left( {{x}^{2}}+px+q \right),\Delta ={{p}^{2}}-4q<0$ thì đặt

$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A}{x-\alpha }+\frac{Bx+C}{{{x}^{2}}+px+q}.$

Khi $Q\left( x \right)$có nghiệm bội

$Q(x)=(x-\alpha ){{(x-\beta )}^{2}}$ với a ¹ b thì đặt

$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{{{A}_{{}}}}{x-{{\alpha }_{{}}}}+\frac{B}{x-\beta }+\frac{C}{{{\left( x-\beta \right)}^{2}}}$.

$Q(x)={{(x-\alpha )}^{2}}{{(x-\beta )}^{3}}$ với a ¹ b thì đặt

$\frac{P(x)}{{{(x-\alpha )}^{2}}{{(x-\beta )}^{3}}}=\frac{A}{{{(x-\alpha )}^{2}}}+\frac{B}{(x-\alpha )}+\frac{C}{{{(x-\beta )}^{3}}}+\frac{D}{{{(x-\beta )}^{2}}}+\frac{E}{x-\beta }$

5.2. Tích phân hàm vô tỉ

$\int\limits_{a}^{b}{R(x,\,f(x))dx}$ Trong đó $R\left( x,\text{ }f\left( x \right) \right)$ có dạng:

$R\left( x,\sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \right)$ Đặt $x=acos2t,\text{ }t\in \left[ 0;\,\frac{\pi }{2} \right]$
$R\left( x,\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)$ Đặt $x=\left| a \right|\sin t$ hoặc $x=\left| a \right|\cos t$
$R\left( x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right)$ Đặt $t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$
$R\left( x,f\left( x \right) \right)=\frac{1}{(ax+b)\sqrt{\alpha {{x}^{2}}+\beta x+\gamma }}$ Với $\left( \alpha {{x}^{2}}+\beta x+\gamma \right)'=\text{ }k\left( ax+b \right)$

Đặt $t=\sqrt{\alpha {{x}^{2}}+\beta x+\gamma }$, hoặc Đặt $t=\frac{1}{ax+b}$

$R\left( x,\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}} \right)$ Đặt $x=\left| a \right|\tan t$, $t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\,\frac{\pi }{2} \right]$
$R\left( x,\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}} \right)$ Đặt $x=\frac{\left| a \right|}{\cos x}$, $~t\in [0;\,\pi ]\backslash \left\{ \frac{\pi }{2} \right\}$
$R\left( \sqrt[{{n}_{1}}]{x};\sqrt[{{n}_{2}}]{x};...;\sqrt[{{n}_{i}}]{x} \right)$ Gọi $k=BSCNN\left( {{n}_{1}};{{n}_{2}};...;{{n}_{i}} \right)$ . Đặt $x={{t}^{k}}$

5.2.1. Dạng 1

$I=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{1}{\sqrt{\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx+c}}dx\quad \left( a\ne 0 \right)}$

Từ :${\rm{f(x) = a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + bx + c = a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + \frac{b}{{2a}} = u\\
\frac{{\sqrt \Delta }}{{2a}} = K
\end{array} \right. \leftrightarrow du = dx$

Khi đó ta có :

Nếu $\Delta <0,a>0\Rightarrow f(x)=a\left( {{u}^{2}}+{{k}^{2}} \right)\Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=\sqrt{a}.\sqrt{{{u}^{2}}+{{k}^{2}}}$ (1)
Nếu $\Delta = 0 \Rightarrow f(x) = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\sqrt {f(x)} = \sqrt a \left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \sqrt a .\left| u \right|
\end{array} \right.$ (2)
Nếu : $\Delta >0$.

Với $a>0$ : $f(x)=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=\sqrt{a}.\sqrt{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)}$ (3)
Với $a<0$ : $f(x)=-a\left( {{x}_{1}}-x \right)\left( {{x}_{2}}-x \right)\Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=\sqrt{-a}.\sqrt{\left( {{x}_{1}}-x \right)\left( {{x}_{2}}-x \right)}$(4)

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

Phương pháp :

* Trường hợp : $\Delta <0,a>0\Rightarrow f(x)=a\left( {{u}^{2}}+{{k}^{2}} \right)\Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=\sqrt{a}.\sqrt{{{u}^{2}}+{{k}^{2}}}$

Khi đó đặt :$\sqrt {{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + bx + c} = t - \sqrt a .x$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
bx + c = {t^2} - 2\sqrt a x\\
x = \alpha \to t = {t_0},x = \beta \to t = {t_1}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{{t^2} - c}}{{b + 2\sqrt a }};dx = \frac{2}{{\left( {b + 2\sqrt a } \right)}}tdt\\
t - \sqrt a .x = t - \sqrt a \frac{{{t^2} - c}}{{b + 2\sqrt a }}
\end{array} \right.$

* Trường hợp :

$\Delta = 0 \Rightarrow f(x) = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\sqrt {f(x)} = \sqrt a \left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \sqrt a .\left| u \right|
\end{array} \right.$

Khi đó : $I = \int\limits_\alpha ^\beta {\frac{1}{{\sqrt a \left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right|}}dx = \frac{1}{{\sqrt a }}\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{1}{{\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right|}}dx = \left[ \begin{array}{l}
\frac{1}{{\sqrt a }}\ln \left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\beta \\
\alpha
\end{array}} \right.:x + \frac{b}{{2a}} > 0\\
- \frac{1}{{\sqrt a }}\ln \left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\beta \\
\alpha
\end{array}} \right.:x + \frac{b}{{2a}} < 0
\end{array} \right.} } $

* Trường hợp : $\Delta > 0,a > 0$. Đặt : $\sqrt {{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + bx + c} = \sqrt {a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)} = \left[ \begin{array}{l}
\left( {x - {x_1}} \right)t\\
\left( {x - {x_2}} \right)t
\end{array} \right.$

* Trường hợp : $\Delta > 0,a < 0$. Đặt : $\sqrt {{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + bx + c} = \sqrt {a\left( {{x_1} - x} \right)\left( {{x_2} - x} \right)} = \left[ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} - x} \right)t\\
\left( {{x_2} - x} \right)t
\end{array} \right.$

5.2.2. Dạng 2

$I=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{mx+n}{\sqrt{\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx+c}}dx\quad \left( a\ne 0 \right)}$

Phương pháp :

Bước 1:

Phân tích $f(x)=\frac{mx+n}{\sqrt{\text{a}{{\text{x}}^{\text{2}}}+bx+c}}=\frac{A.d\left( \sqrt{\text{a}{{\text{x}}^{\text{2}}}+bx+c} \right)}{\sqrt{\text{a}{{\text{x}}^{\text{2}}}+bx+c}}+\frac{B}{\sqrt{\text{a}{{\text{x}}^{\text{2}}}+bx+c}}\quad \left( 1 \right)$

Bước 2:

Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số $A,B$

Bước 3:

Giải hệ tìm $A,B$ thay vào (1)

Bước 4 :

Tính$I = 2A\left( {\sqrt {{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + bx + c} } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\beta \\
\alpha
\end{array} + B\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{1}{{\sqrt {{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + bx + c} }}dx} } \right.$(2)

Trong đó $\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{1}{{\sqrt {{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx} + c}}dx\quad \left( {a \ne 0} \right)} $ đã biết cách tính ở trên

5.2.3. Dạng 3

$I=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\frac{1}{\left( mx+n \right)\sqrt{\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx}+c}dx\quad \left( a\ne 0 \right)}$

Phương pháp :

Bước 1:

Phân tích : $\frac{1}{\left( mx+n \right)\sqrt{\text{a}{{\text{x}}^{\text{2}}}+bx+c}}=\frac{1}{m\left( x+\frac{n}{m} \right)\sqrt{\text{a}{{\text{x}}^{\text{2}}}+bx+c}}$. (1)

Bước 2:

Đặt :$\frac{1}{y} = x + \frac{n}{m} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{{x + t}}\left( {t = \frac{n}{m}} \right) \to dy = - \frac{1}{{x + t}}dx\\
x = \frac{1}{y} - t \Rightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + bx + c = a{\left( {\frac{1}{y} - t} \right)^2} + b\left( {\frac{1}{y} - t} \right) + c
\end{array} \right.$

Bước 3:

Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : $I=\pm \int\limits_{\alpha '}^{\beta '}{\frac{dy}{\sqrt{L{{y}^{2}}+My+N}}}$. Tích phân này chúng ta đã biết cách tính .

5.2.4. Dạng 4

$I=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{R\left( x;y \right)dx=}\int\limits_{\alpha }^{\beta }{R\left( x;\sqrt[m]{\frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }} \right)dx}$

( Trong đó : $R\left( x;y \right)$ là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta $ là các hằng số đã biết )

Phương pháp :

Bước 1:

Đặt : $t=\sqrt[m]{\frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}$ (1)

Bước 2:

Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng $x=\varphi \left( t \right)$

Bước 3:

Tính vi phân hai vế : $dx=\varphi '\left( t \right)dt$ và đổi cận

Bước 4:

Tính : $\int\limits_{\alpha }^{\beta }{R\left( x;\sqrt[m]{\frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }} \right)dx}=\int\limits_{\alpha '}^{\beta '}{R\left( \varphi \left( t \right);t \right)\varphi '\left( t \right)dt}$

5.3. Tích phân hàm lượng giác

5.3.1. Một số công thức lượng giác

5.3.1.1. Công thức cộng

$\cos (a\pm b)=\cos a.\cos b~\mp \sin a.\sin b$

$\sin (a\pm b)=\sin a.\cos b\pm \sin b.\cos a$

$\tan (a\pm b)=\frac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a.\tan b}$

5.3.1.2. Công thức nhân đôi

$\cos 2a={{\cos }^{2}}a{{\sin }^{2}}a=2{{\cos }^{2}}a1=12{{\sin }^{2}}a=\frac{1-{{\tan }^{2}}a}{1+{{\tan }^{2}}a}$

$\sin 2a=2\sin a.\cos a=\frac{2\tan a}{1+{{\tan }^{2}}a}$ ; $\tan 2a = \frac{{2{\rm{tana}}}}{{1 - {{\tan }^2}a}}$ $\cos 3\alpha = 4{\cos ^3}\alpha - 3\cos \alpha $ ; $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4{\sin ^3}\alpha $

5.3.1.3. Công thức hạ bậc

5.3.1.4. Công thức tính theo $\operatorname{t}$

Với $t = \frac{{\tan \alpha }}{2}$ Thì $\sin \alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$ ; $\cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$ ; $\tan \alpha = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}$

5.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng

5.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thành tích

Công thức thường dùng:

\begin{array}{l}
{\cos ^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha = \frac{{3 + \cos 4\alpha }}{4}\\
{\cos ^6}\alpha + {\sin ^6}\alpha = \frac{{5 + 3\cos 4\alpha }}{8}
\end{array}

Hệ quả:

\begin{array}{l}
\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)\\
\cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)
\end{array}

5.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác