Bài 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT | Cộng đồng toán học

Cho hàm số $y=fleft $x r i g h t$ $ xác định trên tập $D.$

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=fleft $x r i g h t$ $ trên $D$ nếu:

$left{ begin{array}{l}
f $x$ le M,forall x in D\
exists {x_0} in D,f $x_{0}$ = M
end{array} right.$

Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = fleft $x r i g h t$ $ trên D nếu: $left{ begin{array}{l}
f $x$ ge m,forall x in D\
exists {x_0} in D,f $x_{0}$ = m
end{array} right.$. Kí hiệu: $m = mathop {min }limits_{x in D} {kern 1pt} f $x$ $.

4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN

4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

Bước 1: Tính ${f}’left $x r i g h t$ $ và tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}in D$ mà tại đó ${f}’left $x r i g h t$ =0$ hoặc hàm số không có đạo hàm.
Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Hàm số đã cho $y=fleft $x r i g h t$ $ xác định và liên tục trên đoạn $left $a; b r i g h t$ .$
Tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}$ trên khoảng $left $a; b r i g h t$ $, tại đó ${f}’left $x r i g h t$ =0$ hoặc ${f}’left $x r i g h t$ $ không xác định.

Bước 2: Tính $fleft $a r i g h t$ ,fleft $x_{1} r i g h t$ ,fleft $x_{2} r i g h t$ ,…,fleft $x_{n} r i g h t$ ,fleft $b r i g h t$ .$
Bước 3: Khi đó:

$underset{left $a, b r i g h t$ }{mathop{text{max}}},fleft $x r i g h t$ =text{max}left{ fleft $x_{1} r i g h t$ ,fleft $x_{2} r i g h t$ ,…,fleft $x_{n} r i g h t$ ,fleft $a r i g h t$ ,fleft $b r i g h t$ right}.$
$underset{left $a, b r i g h t$ }{mathop{text{min}}},fleft $x r i g h t$ =text{min}left{ fleft $x_{1} r i g h t$ ,fleft $x_{2} r i g h t$ ,…,fleft $x_{n} r i g h t$ ,fleft $a r i g h t$ ,fleft $b r i g h t$ right}.$

4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

Bước 1: Tính đạo hàm ${f}' $x$ $.
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm ${{x}_{i}}in $a; b$ $ của phương trình ${f}' $x$ =0$ và tất cả các điểm ${{alpha }_{i}}in $a; b$ $ làm cho ${f}' $x$ $ không xác định.
Bước 3. Tính $A=underset{xto {{a}^{+}}}{mathop{lim }},f $x$ $, $B=underset{xto {{b}^{-}}}{mathop{lim }},f $x$ $, $f $x_{i}$ $, $f ${a l p h a}_{i}$ $.
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận $M=underset{ $a; b$ }{mathop{max }},f $x$ $, $m=underset{ $a; b$ }{mathop{min }},f $x$ $.

Nếu giá trị lớn nhất $n h ỏ n h ấ t$ là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất $n h ỏ n h ấ t$ .

Chú ý:

Nếu $y = fleft $x r i g h t$ $ đồng biến trên $left $a; b r i g h t$ $ thì $left{ begin{array}{l}
mathop {min }limits_{left $a; b r i g h t$ } fleft $x r i g h t$ = fleft $a r i g h t$ \
mathop {max }limits_{left $a; b r i g h t$ } fleft $x r i g h t$ = fleft $b r i g h t$
end{array} right.$.
Nếu $y = fleft $x r i g h t$ $ nghịch biến trên $left $a; b r i g h t$ $ thì $left{ begin{array}{l}
mathop {min }limits_{left $a; b r i g h t$ } f $x$ = fleft $b r i g h t$ \
mathop {max }limits_{left $a; b r i g h t$ } f $x$ = fleft $a r i g h t$
end{array} right..$
Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

Bài 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT