4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
4.1. Định nghĩa.
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên tập $D.$
- Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $D$ nếu:
$\left\{ \begin{array}{l}
f(x) \le M,\forall x \in D\\
\exists {x_0} \in D,f({x_0}) = M
\end{array} \right.$
- Số
gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên D nếu: $\left\{ \begin{array}{l}
f(x) \ge m,\forall x \in D\\
\exists {x_0} \in D,f({x_0}) = m
\end{array} \right.$. Kí hiệu: $m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} {\kern 1pt} f(x)$.
4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
- Bước 1: Tính ${f}'\left( x \right)$ và tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in D$ mà tại đó ${f}'\left( x \right)=0$ hoặc hàm số không có đạo hàm.
- Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
- Bước 1:
- Hàm số đã cho $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right].$
- Tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ trên khoảng $\left( a;b \right)$, tại đó ${f}'\left( x \right)=0$ hoặc ${f}'\left( x \right)$ không xác định.
- Bước 2: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right).$
- Bước 3: Khi đó:
- $\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{max}}}\,f\left( x \right)=\text{max}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.$
- $\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{min}}}\,f\left( x \right)=\text{min}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.$
4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
- Bước 1: Tính đạo hàm ${f}'(x)$.
- Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm ${{x}_{i}}\in (a;b)$ của phương trình ${f}'(x)=0$ và tất cả các điểm ${{\alpha }_{i}}\in (a;b)$ làm cho ${f}'(x)$ không xác định.
- Bước 3. Tính $A=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$, $B=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$, $f({{x}_{i}})$, $f({{\alpha }_{i}})$.
- Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận $M=\underset{(a;b)}{\mathop{\max }}\,f(x)$, $m=\underset{(a;b)}{\mathop{\min }}\,f(x)$.
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Chú ý:
- Nếu $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right)\\
\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right)
\end{array} \right.$. - Nếu $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( b \right)\\
\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( a \right)
\end{array} \right..$ - Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
