Bài 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

Bài toán tổng quát:

Cho hàm số $y=f\left( x;m \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$ Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $K$ cho trước?

Phương pháp:

• Bước 1:

• Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
• Đạo hàm: ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c=A{{x}^{2}}+Bx+C$    

• Bước 2:

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

     $\Leftrightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt và${y}'$đổi dấu qua 2 nghiệm đó

     $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt

    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = 3a \ne 0\\
{\Delta _{y'}} = {B^2} - 4AC = 4{b^2} - 12ac > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
{b^2} - 3ac > 0
\end{array} \right. \Rightarrow m \in {D_1}.$

• Bước 3:

 Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${y}'=0.$

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \frac{B}{A} =  - \frac{{2b}}{{3a}}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} = \frac{c}{{3a}}
\end{array} \right..$

• Bước 4: 

Biến đổi điều kiện $K$ về dạng tổng $S$ và tích $P$. Từ đó giải ra tìm được $m\in {{D}_{2}}.$

• Bước 5:

Kết luận các giá trị m thỏa mãn: $m={{D}_{1}}\cap {{D}_{2}}.$

* Chú ý: Hàm số bậc ba:$\text{ }y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a\ne 0 \right).$ 

Ta có:  $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$

• Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.

• Hàm số có 2 cực trị trái dấu

$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu

$\Leftrightarrow A.C=3ac<0\Leftrightarrow ac<0.$

• Hàm số có hai cực trị cùng dấu

$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _{y'}} > 0\\
P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0
\end{array} \right.$

• Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _{y'}} > 0\\
S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{B}{A} > 0\\
P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0
\end{array} \right.$

• Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm âm phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _{y'}} > 0\\
S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{B}{A} < 0\\
P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0
\end{array} \right.$

• Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn:    

$\left\langle \begin{array}{l}
{x_1} < \alpha  < {x_2}\\
{x_1} < {x_2} < \alpha \\
\alpha  < {x_1} < {x_2}
\end{array} \right.$

• Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}$

$\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-\alpha  \right)\left( {{x}_{2}}-\alpha  \right)<0\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}-\alpha \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{\alpha }^{2}}<0$

• Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\alpha $

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} - \alpha } \right)\left( {{x_2} - \alpha } \right) > 0\\
{x_1} + {x_2} < 2\alpha 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1}.{x_2} - \alpha \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\alpha ^2} > 0\\
{x_1} + {x_2} < 2\alpha 
\end{array} \right.$

• Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\alpha <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} - \alpha } \right)\left( {{x_2} - \alpha } \right) > 0\\
{x_1} + {x_2} > 2\alpha 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1}.{x_2} - \alpha \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\alpha ^2} > 0\\
{x_1} + {x_2} > 2\alpha 
\end{array} \right.$

• Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

khi có 1 nghiệm là$x=\frac{-b}{3a}$, có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là $x=-\sqrt[3]{\frac{d}{a}}$ .

Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

Cho 2 điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),\text{ }B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ và đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0.$

Nếu $\left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)<0$ thì hai điểm $A,\text{ }B$ nằm về

hai phía so với đường thẳng $\Delta .$

Nếu $\left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)>0$ thì hai điểm $A,\text{ }B$ nằm cùng

phía so với đường thẳng $\Delta .$

Một số trường hợp đặc biệt:

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

     $\Leftrightarrow $hàm số có 2 cực trị cùng dấu

     $\Leftrightarrow $phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

     $\Leftrightarrow $ hàm số có 2 cực trị trái dấu

     $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm trái dấu

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

     $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt và ${{y}_{C}}.{{y}_{CT}}>0$

Đặc biệt:

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox

     $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt và $\left\{ \begin{array}{l}
{y_C}.{y_{CT}} > 0\\
{y_C} + {y_{CT}} > 0
\end{array} \right.$

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

     $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt và $\left\{ \begin{array}{l}
{y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\\
{y_{CD}} + {y_{CT}} < 0
\end{array} \right.$

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

     $\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt và ${y_{CD}}.{y_{CT}} < 0$(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

$\Leftrightarrow $đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

$\Leftrightarrow $phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)

Tổng quát: ${{{\cot }^2}\frac{\alpha }{2} = \frac{{ - {b^3}}}{{8a}}}$

Dữ kiện

Công thức

thỏa mãn $ab<0;c\ne 0$

Tam giác $ABC$vuông cân tại $A$

${{b}^{3}}=-8a$

Tam giác $ABC$đều

${{b}^{3}}=-24a$

Tam giác $ABC$có diện tích ${{S}_{\Delta ABC}}={{S}_{0}}$

$32{{a}^{3}}{{({{S}_{0}})}^{2}}+{{b}^{5}}=0$

Tam giác $ABC$có diện tích $max({{S}_{0}})$

${{S}_{0}}=\sqrt{-\frac{{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}}$

Tam giác $ABC$có bán kính đường tròn nội tiếp ${{r}_{\Delta ABC}}={{r}_{0}}$

  $r=\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|\left( 1+\sqrt{1-\frac{{{b}^{3}}}{8a}} \right)}$

Tam giác $ABC$có bán kính đường tròn ngoại tiếp ${{R}_{\Delta ABC}}=R$

$R=\frac{{{b}^{3}}-8a}{8\left| a \right|b}$

Tam giác $ABC$có độ dài cạnh$BC={{m}_{0}}$

$am_{0}^{2}+2b=0$

Tam giác $ABC$có độ dài $AB=AC={{n}_{0}}$

$16{{a}^{2}}n_{0}^{2}-{{b}^{4}}+8ab=0$

Tam giác $ABC$có cực trị $B,C\in Ox$

${{b}^{2}}=4ac$

Tam giác $ABC$có $3$ góc nhọn

$b(8a+{{b}^{3}})>0$

Tam giác $ABC$có trọng tâm $O$

${{b}^{2}}=6ac$

Tam giác $ABC$có trực tâm $O$

${{b}^{3}}+8a-4ac=0$

Tam giác $ABC$cùng điểm $O$ tạo thành hình thoi

${{b}^{2}}=2ac$

Tam giác $ABC$có $O$ là tâm đường tròn nội tiếp

${{b}^{3}}-8a-4abc=0$

Tam giác $ABC$có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp

${{b}^{3}}-8a-8abc=0$

Tam giác $ABC$có cạnh $BC=kAB=kAC$

${{b}^{3}}.{{k}^{2}}-8a({{k}^{2}}-4)=0$

Trục hoành chia tam giác $ABC$thành

hai phần có diện tích bằng nhau

${{b}^{2}}=4\sqrt{2}\left| ac \right|$

Tam giác $ABC$có điểm cực trị cách đều trục hoành

${{b}^{2}}=8ac$

Đồ thị hàm số $\left( C \right):y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ cắt trục $Ox$ tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

${{b}^{2}}=\frac{100}{9}ac$

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right):y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ và trục hoành có diện tích phần trên và phần dưới bằng nhau.

${{b}^{2}}=\frac{36}{5}ac$

Phương trình đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là:

 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left( \frac{2}{b}-\frac{\Delta }{4a}+c \right)y+c\left( \frac{2}{b}-\frac{\Delta }{4a} \right)=0$.