Bài 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ

2. CỰC TRỊ HÀM SỐ

2.1. Định nghĩa

Giả sử hàm số $f$ xác định trên tập K và ${{x}_{0}}in K$. Ta nói:

• ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $left$a;bright$$ chứa ${{x}_{0}}$ sao cho  $left$a;bright$subset K$và $fleft$xright$>fleft$x_{0}right$,forall xin left$a;bright$backslash left{ {{x}_{0}} right}$. Khi đó $fleft$x_{0}right$$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số$f$.
• ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $left$a;bright$$ chứa ${{x}_{0}}$ sao cho  $left$a;bright$subset K$và $fleft$xright$<fleft$x_{0}right$,forall xin left$a;bright$backslash left{ {{x}_{0}} right}$. Khi đó $fleft$x_{0}right$$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số$f$.
• Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị $haycựctrị$ của hàm số.
• Nếu ${{x}_{0}}$ là điểm cực trị của hàm số thì điểm $left$x_0;fleft(x_{0}right$ right)$ được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số $f$.

* Nhận xét:

• Giá trị cực đại $cựctiểu$ $fleft$x_{0}right$$nói chung không phải là giá trị lớn nhất $nhỏnhất$  của hàm số $f$ trên tập D; $fleft$x_{0}right$$ chỉ là giá trị lớn nhất $nhỏnhất$ của hàm số $f$ trên một khoảng $left$a;bright$$ nào đó chứa ${{x}_{0}}$hay nói cách khác khi ${{x}_{0}}$ điểm cực đại $cựctiểu$ sẽ tồn tại khoảng $a;b$ chứa ${{x}_{0}}$ sao cho $fleft$x_{0}right$$là giá trị lớn nhất $nhỏnhất$ của hàm số $f$ trên khoảng $left$a;bright$.$
• Hàm số $f$ có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập$K$.  Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.

2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1:

Giả sử hàm số $y=fleft$xright$$đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$. Khi đó, nếu $y=fleft$xright$$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ thì ${f}’left$x_{0}right$=0.$

Chú ý:

• Đạo hàm ${f}’left$xright$$ có thể  bằng $0$ tại điểm ${{x}_{0}}$ nhưng hàm số $f$ không đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$.
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng $0$ hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2:

Giả sử hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$. Khi đó, nếu hàm số $f$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ thì $f’left$x_{0}right$=0$.

• Nếu ${f}’left$xright$>0$ trên khoảng $left$x_0-h;x_{0}right$$ và${f}’left$xright$<0$ trên khoảng $left$x_0;x_0+hright$$ thì ${{x}_{0}}$ là một điểm cực đại của hàm số $fleft$xright$.$ 
• Nếu ${f}’left$xright$<0$ trên khoảng $left$x_0-h;x_{0}right$$ và ${f}’left$xright$>0$ trên khoảng $left$x_0;x_0+hright$$ thì ${{x}_{0}}$ là một điểm cực tiểu của hàm số $fleft$xright$.$

2.4. Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1:

• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm ${f}’left$xright$.$
• Bước 2: Tìm các điểm ${{x}_{i}}$ $left$i=1;2;\dots right$$ mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu ${f}’left$xright$$. Nếu ${f}’left$xright$$ đổi dấu khi đi qua ${{x}_{i}}$ thì hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{i}}$.

Định lí 3:

Giả sử $y=fleft$xright$$ có đạo hàm cấp 2 trong khoảng $left$x_0-h;x_0+hright$$ với $h>0.$ Khi đó:

• Nếu ${f}’left$x_{0}right$=0,$${f}”left$x_{0}right$<0$ thì hàm số $f$ đạt cực đại tại ${{x}_{0}}.$
• Nếu ${f}’left$x_{0}right$=0,$${f}”left$x_{0}right$>0$ thì hàm số $f$ đạt cực tiểu tại ${{x}_{0}}.$

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm ${f}’left$xright$.$
• Bước 2: Tìm các nghiệm ${{x}_{i}}$ $left$i=1;2;\dots right$$ của phương trình ${f}’left$xright$=0.$
• Bước 3: Tính ${f}”left$xright$$ và tính ${f}”left$x_{i}right$.$

• Nếu ${f}”left$x_{i}right$<0$ thì hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm ${{x}_{i}}.$ 
• Nếu ${f}”left$x_{i}right$>0$ thì hàm số $f$ đạt cực tiểu tại điểm ${{x}_{i}}.$