2. CỰC TRỊ HÀM SỐ
2.1. Định nghĩa
Giả sử hàm số $f$ xác định trên tập K và ${{x}_{0}}\in K$. Ta nói:
- ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $\left( a;b \right)$ chứa ${{x}_{0}}$ sao cho $\left( a;b \right)\subset K$và $f\left( x \right)>f\left( {{x}_{0}} \right),\forall x\in \left( a;b \right)\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}$. Khi đó $f\left( {{x}_{0}} \right)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số$f$.
- ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $\left( a;b \right)$ chứa ${{x}_{0}}$ sao cho $\left( a;b \right)\subset K$và $f\left( x \right)<f\left( {{x}_{0}} \right),\forall x\in \left( a;b \right)\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}$. Khi đó $f\left( {{x}_{0}} \right)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số$f$.
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
- Nếu ${{x}_{0}}$ là điểm cực trị của hàm số thì điểm $\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số $f$.
* Nhận xét:
- Giá trị cực đại (cực tiểu) $f\left( {{x}_{0}} \right)$nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số $f$ trên tập D; $f\left( {{x}_{0}} \right)$ chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số $f$ trên một khoảng $\left( a;b \right)$ nào đó chứa ${{x}_{0}}$hay nói cách khác khi ${{x}_{0}}$ điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa ${{x}_{0}}$ sao cho $f\left( {{x}_{0}} \right)$là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số $f$ trên khoảng $\left( a;b \right).$
- Hàm số $f$ có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập$K$. Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.
2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:
Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$. Khi đó, nếu $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ thì ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0.$
Chú ý:
- Đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ có thể bằng $0$ tại điểm ${{x}_{0}}$ nhưng hàm số $f$ không đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$.
- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng $0$ hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:
Giả sử hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$. Khi đó, nếu hàm số $f$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ thì $f'\left( {{x}_{0}} \right)=0$.
- Nếu ${f}'\left( x \right)>0$ trên khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}} \right)$ và${f}'\left( x \right)<0$ trên khoảng $\left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+h \right)$ thì ${{x}_{0}}$ là một điểm cực đại của hàm số $f\left( x \right).$
- Nếu ${f}'\left( x \right)<0$ trên khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}} \right)$ và ${f}'\left( x \right)>0$ trên khoảng $\left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+h \right)$ thì ${{x}_{0}}$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f\left( x \right).$
2.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
- Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm ${f}'\left( x \right).$
- Bước 2: Tìm các điểm ${{x}_{i}}$ $\left( i=1;2;... \right)$ mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu ${f}'\left( x \right)$. Nếu ${f}'\left( x \right)$ đổi dấu khi đi qua ${{x}_{i}}$ thì hàm số đạt cực trị tại ${{x}_{i}}$.
Định lí 3:
Giả sử $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp 2 trong khoảng $\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right)$ với $h>0.$ Khi đó:
- Nếu ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0,$${f}''\left( {{x}_{0}} \right)<0$ thì hàm số $f$ đạt cực đại tại ${{x}_{0}}.$
- Nếu ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0,$${f}''\left( {{x}_{0}} \right)>0$ thì hàm số $f$ đạt cực tiểu tại ${{x}_{0}}.$
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
- Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm ${f}'\left( x \right).$
- Bước 2: Tìm các nghiệm ${{x}_{i}}$ $\left( i=1;2;... \right)$ của phương trình ${f}'\left( x \right)=0.$
- Bước 3: Tính ${f}''\left( x \right)$ và tính ${f}''\left( {{x}_{i}} \right).$
- Nếu ${f}''\left( {{x}_{i}} \right)<0$ thì hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm ${{x}_{i}}.$
- Nếu ${f}''\left( {{x}_{i}} \right)>0$ thì hàm số $f$ đạt cực tiểu tại điểm ${{x}_{i}}.$
