2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
2.1. Phương pháp đổi biến
2.1.1. Đổi biến dạng 1
Nếu : $\int{f(x)dx=F(x)+C}$ và với $u=\varphi \left( t \right)$ là hàm số có đạo hàm thì :
$\int{f(u)du=F(\varphi (t))+C}$
2.1.1.1. Phương pháp chung
- Bước 1: Chọn $x=\varphi \left( t \right)$, trong đó $\varphi \left( t \right)$ là hàm số mà ta chọn thích hợp .
- Bước 2: Lấy vi phân hai vế : $dx=\varphi '\left( t \right)dt$
- Bước 3: Biến đổi : $f(x)dx=f\left[ \varphi \left( t \right) \right]\varphi '\left( t \right)dt=g\left( t \right)dt$
- Bước 4: Khi đó tính : $\int{f(x)dx=\int{g(t)dt=G(t)+C}}$.
2.1.1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
|
Dấu hiệu |
Cách chọn |
|
$\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ |
Đặt $x=\left| a \right|sint$; với $t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right].$hoặc $x=\left| a \right|cost$; với $t\in \left[ 0;\pi \right].$ |
|
$\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$ |
Đặt $x=\frac{\left| \text{a} \right|}{\text{sint}}.$; với $t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$ hoặc $x=\frac{\left| a \right|}{cost}$ với $t\in \left[ 0;\pi \right]\backslash \left\{ \frac{\pi }{2} \right\}.$ |
|
$\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$ |
Đặt $x=\left| a \right|tant$; với $t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right).$hoặc $x=\left| a \right|\cot t$ với $t\in \left( 0;\pi \right).$ |
|
$\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}.$ hoặc $\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}.$ |
Đặt $x=acos2t$ |
|
$\sqrt{\left( x-a \right)\left( b-x \right)}$ |
Đặt $x=a+(ba)si{{n}^{2}}t$ |
|
$\frac{1}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$ |
Đặt $x=atant$ ; với $t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right).$ |
2.1.2. Đổi biến dạng 2
Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt $x=\varphi \left( t \right)$. Trong đó $\varphi \left( t \right)$ cùng với đạo hàm của nó ($\varphi '\left( t \right)$ là những hàm số liên tục) thì ta được :
$\int{f(x)dx=\int{f\left[ \varphi \left( t \right) \right]\varphi '\left( t \right)dt=\int{g(t)dt=G(t)+C}}}$.
2.1.2.1. Phương pháp chung
- Bước 1: Chọn t=$\varphi \left( x \right)$. Trong đó $\varphi \left( x \right)$ là hàm số mà ta chọn thích hợp .
- Bước 2: Tính vi phân hai vế : $dt=\varphi '\left( t \right)dt$.
- Bước 3: Biểu thị : $f(x)dx=f\left[ \varphi \left( t \right) \right]\varphi '\left( t \right)dt=g(t)dt$.
- Bước 4: Khi đó : $I=\int{f(x)dx}=\int{g(t)dt=G(t)+C}$
2.1.2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp :
|
Dấu hiệu |
Cách chọn |
|
Hàm số mẫu số có |
$t$ là mẫu số |
|
Hàm số : $f\left( x;\sqrt{\varphi \left( x \right)} \right)$ |
$t=\sqrt{\varphi \left( x \right)}$ |
|
Hàm $f\left( x \right)=\frac{a.\operatorname{s}\text{inx+b}\text{.cosx}}{c.\operatorname{s}\text{inx+d}\text{.cosx+e}}$ |
$t=\tan \frac{x}{2};\left( c\text{os}\frac{\text{x}}{\text{2}}\ne 0 \right)$ |
|
Hàm $f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{\left( x+a \right)\left( x+b \right)}}$ |
Với : $x+a>0$ và $x+b>0$.
Với $x+a<0$ và $x+b<0$. Đặt : $t=\sqrt{-x-a}+\sqrt{-x-b}$ |
2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:
$\int{u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)-\int{v(x).u'(x)dx}}$
Hay $\int{udv=uv-\int{vdu}}$ ( với $du=u\left( x \right)dx,~dv=v\left( x \right)dx$ )
2.2.1. Phương pháp chung
- Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : $I=\int{f(x)dx=\int{{{f}_{1}}(x).{{f}_{2}}(x)dx}}$
- Bước 2: Đặt : $\left\{ \begin{array}{l}
u = {f_1}(x)\\
dv = {f_2}(x)
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
du = f{'_1}(x)dx\\
v = \int {{f_2}(x)dx}
\end{array} \right.$ - Bước 3: Khi đó : $\int{u.dv=u.v-\int{v.du}}$
2.2.2. Các dạng thường gặp
2.2.2.1. Dạng 1
$I = \int {P(x)} \left\{ {\left. \begin{array}{l}
\sin x\\
\cos x\\
{e^x}
\end{array} \right\}} \right..dx$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = P(x)\\
dv = \left\{ {\left. \begin{array}{l}
\sin x\\
\cos x\\
{e^x}
\end{array} \right\}} \right..dx
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u'.du = P'(x)dx\\
v = \left\{ {\left. \begin{array}{l}
- \cos x\\
\sin x\\
{e^x}
\end{array} \right\}} \right.
\end{array} \right.$
Vậy: $I = P(x)\left\{ \begin{array}{l}
- \cos x\\
\sin x\\
{e^x}
\end{array} \right\}$- $\int {\left\{ \begin{array}{l}
- \cos x\\
\sin x\\
{e^x}
\end{array} \right\}.P'(x)dx} $
2.2.2.2. Dạng 2
$I = \int {P(x).\ln xdx} $. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
\\
dv = P(x)dx
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = \int {P(x)dx} = Q(x)
\end{array} \right.$
Vậy $I = lnx.Q\left( x \right) = \int {Q(x).\frac{1}{x}dx} $
2.2.2.3. Dạng 3
$I = \int\limits_{}^{} {{e^x}\left\{ {\left. \begin{array}{l}
\sin x\\
\cos x
\end{array} \right\}} \right.dx} $. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^x}\\
dv = \left\{ {\left. \begin{array}{l}
\sin x\\
\cos x
\end{array} \right\}} \right..dx
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = {e^x}dx\\
v = \left\{ {\left. \begin{array}{l}
- \cos x\\
\sin x
\end{array} \right\}} \right.
\end{array} \right.$
Vậy I = $I = {e^x}\left\{ {\left. \begin{array}{l}
- \cos x\\
\sin x
\end{array} \right\}} \right.$- $\int {\left\{ {\left. \begin{array}{l}
- \cos x\\
\sin x
\end{array} \right\}} \right.} {e^x}dx$
Bằng phương pháp tương tự ta tính được $\int {\left\{ {\left. \begin{array}{l}
- \cos x\\
\sin x
\end{array} \right\}} \right.} {e^x}dx$ sau đó thay vào I
