1. NGUYÊN HÀM
1.1. Định nghĩa
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $K$ ($K$ là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $K$ nếu $F'\left( x \right)=f\left( x \right)$ với mọi $x\in K$.
Kí hiệu: $\int{f\left( x \right)d\text{x}=F\left( x \right)+C}$.
Định lí:
1) Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của$f\left( x \right)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $G\left( x \right)=F\left( x \right)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$.
2) Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ đều có dạng $F\left( x \right)+C$, với $C$ là một hằng số.
Do đó $F\left( x \right)+C,C\in \mathbb{R}$ là họ tất cả các nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$.
1.2. Tính chất của nguyên hàm
- ${{\left( \int{f\left( x \right)d\text{x}} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)$ và $\int{f'\left( x \right)d\text{x}=f\left( x \right)}+C$; $d\left( \int{f\left( x \right)\operatorname{dx}} \right)=f\left( x \right)\operatorname{dx}$
- Nếu F(x) có đạo hàm thì: $\int{d\left( F(x) \right)}=F(x)+C$
- $\int{kf\left( x \right)d\text{x}}=k\int{f\left( x \right)d\text{x}}$ với $k$ là hằng số khác $0$.
- $\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]d\text{x}}=\int{f\left( x \right)d\text{x}}\pm \int{g\left( x \right)d\text{x}}$
- Công thức đổi biến số: Cho $y=f\left( u \right)$ và $u=g\left( x \right).$
Nếu $\int{f(x)dx}=F(x)+C$ thì $\int{f\left( g(x) \right)g'(x)dx}=\int{f(u)du}$ $=F(u)+C$
1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí:
Mọi hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$.
1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
|
1. $\int{0dx=C}$ 2. $\int{dx=x+C}$ |
|
|
3. $\int{{{x}^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{{x}^{\alpha +1}}+C}\left( \alpha \ne -1 \right)$ |
16. $\int{{{\left( ax+b \right)}^{\alpha }}\operatorname{dx}}=\frac{1}{a}\frac{{{\left( ax+b \right)}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}+c\,,\alpha \ne -1$ |
|
4. $\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx=-\frac{1}{x}+C}$ |
17. $\int{xdx=\frac{{{x}^{2}}}{2}+C}$ |
|
5. $\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left| x \right|+C}$ |
18. $\int{\frac{\operatorname{dx}}{ax+b}}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+c$ |
|
6. $\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}$ |
19. $\int{{{e}^{ax+b}}dx=\frac{1}{a}{{e}^{ax+b}}+C}$ |
|
7. $\int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C}$ |
20. $\int{{{a}^{kx+b}}dx=\frac{1}{k}\frac{{{a}^{kx+b}}}{\ln a}+C}$ |
|
8. $\int{\cos xdx=\sin x+C}$ |
21. $\int{\cos \left( ax+b \right)dx=\frac{1}{a}\sin \left( ax+b \right)+C}$ |
|
9. $\int{sinxdx=-co\operatorname{s}x+C}$ |
22. $\int{\sin \left( ax+b \right)dx=-\frac{1}{a}\cos \left( ax+b \right)+C}$ |
|
10. $\int{\tan x.dx\,=-\ln |\cos x|+C}$ |
23.$\int{\tan \left( ax+b \right)\operatorname{dx}}=-\frac{1}{a}\ln \left| \cos \left( ax+b \right) \right|+C$ |
|
11.$\int{\cot x.dx\,=\ln |\sin x|+C}$ |
24.$\int{\cot \left( ax+b \right)\operatorname{dx}}=\frac{1}{a}\ln \left| \sin \left( ax+b \right) \right|+C$ |
|
12. $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\tan x+C}$ |
25. $\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}\left( ax+b \right)}dx=\frac{1}{a}\tan \left( ax+b \right)+C}$ |
|
13.$\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx=-\cot x+C}$ |
26. $\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}\left( ax+b \right)}dx=-\frac{1}{a}\cot \left( ax+b \right)+C}$ |
|
14.$\int{\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)dx=\tan x+C}$ |
27. $\int{\left( 1+{{\tan }^{2}}\left( ax+b \right) \right)dx=\frac{1}{a}\tan \left( ax+b \right)+C}$ |
|
15. $\int{\left( 1+{{\cot }^{2}}x \right)dx=-co\operatorname{t}x+C}$ |
28.$\int{\left( 1+{{\cot }^{2}}\left( ax+b \right) \right)dx=-\frac{1}{a}co\operatorname{t}\left( ax+b \right)+C}$ |
1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng
|
$\int{\frac{\operatorname{dx}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}}+C$ |
$\int{\arcsin \frac{x}{a}\operatorname{dx}}=x\arcsin \frac{x}{a}+\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+C$ |
|
$\int{\frac{\operatorname{dx}}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{a+x}{a-x} \right|}+C$ |
$\int{\arccos \frac{x}{a}\operatorname{dx}}=x\arccos \frac{x}{a}-\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+C$ |
|
$\int{\frac{\operatorname{dx}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \right)+C$ |
$\int{\arctan \frac{x}{a}\operatorname{dx}}=x\arctan \frac{x}{a}-\frac{a}{2}\ln \left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)+C$ |
|
$\int{\frac{\operatorname{dx}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}=\arcsin \frac{x}{\left| a \right|}+C$ |
$\int{\operatorname{arc}\cot \frac{x}{a}\operatorname{dx}}=x\operatorname{arc}\cot \frac{x}{a}+\frac{a}{2}\ln \left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)+C$ |
|
$\int{\frac{\operatorname{dx}}{x\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}}=\frac{1}{a}\arccos \left| \frac{x}{a} \right|+C$ |
|
|
$\int{\frac{\operatorname{dx}}{x\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}=-\frac{1}{a}\ln \left| \frac{a+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}{x} \right|+C$ |
$\int{\frac{\operatorname{dx}}{\sin \left( ax+b \right)}}=\frac{1}{a}\ln \left| \tan \frac{ax+b}{2} \right|+C$ |
|
$\int{\ln \left( ax+b \right)\operatorname{dx}}=\left( x+\frac{b}{a} \right)\ln \left( ax+b \right)-x+C$ |
$\int{{{e}^{ax}}\cos bx\operatorname{dx}}=\frac{{{e}^{ax}}\left( a\cos bx+b\sin bx \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+C$ |
|
$\int{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\operatorname{dx}}=\frac{x\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}+\frac{{{a}^{2}}}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C$ |
$\int{{{e}^{ax}}\sin bx\operatorname{dx}}=\frac{{{e}^{ax}}\left( a\sin bx-b\cos bx \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+C$ |
