Bài 1: LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

1.1. Khái niệm lũy thừa

1.1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho $n$ là một số nguyên dương.

Với $a$ là số thực tùy ý, lũy thừa bậc $n$ của a là tích của $n$ thừa số $a$.

${{a}^{n}}=\underbrace{a.a......a}_{n}$($n$ thừa số).

Với $a\ne 0.$ thì  ${{a}^{0}}=1{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$

Ta gọi $a$ là cơ số, $n$ là mũ số. Và chú ý ${{0}^{0}}$ và ${{0}^{-n}}$ không có nghĩa.

1.1.2. Một số tính chất của lũy thừa

• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

${{a}^{\alpha }}\cdot {{a}^{\beta }}={{a}^{\alpha +\beta }};$ $\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{a}^{\beta }}}={{a}^{\alpha -\beta }};$ ${{({{a}^{\alpha }})}^{\beta }}={{a}^{\alpha .\beta }}\ ;$ ${{(ab)}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }}\cdot {{b}^{\alpha }};$

${{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }}=\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{b}^{\alpha }}};$ ${{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-\alpha }}={{\left( \frac{b}{a} \right)}^{\alpha }}\cdot $

• Nếu $a>1$ thì ${{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha >\beta $;     
• Nếu $0<a<1$ thì ${{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha <\beta $.
• Với mọi $0<a<b$, ta có:

${{a}^{m}}<{{b}^{m}}\Leftrightarrow m>0$

${{a}^{m}}>{{b}^{m}}\Leftrightarrow m<0$

 Chú ý:

• Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
• Khi xét lũy thừa với số mũ $0$ và số mũ nguyên âm thì cơ số $a$ phải khác $0$.
• Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số $a$ phải dương.

1.2. Phương trình ${{x}^{n}}=b.$

Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình ${{x}^{n}}=b$ như sau:

• Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực $b$, phương trình có nghiệm duy nhất.

• Trường hợp n chẵn:

• Với $b<0$, phương trình vô nghiệm.
• Với $b=0$, phương trình có một nghiệm $x=0.$
• Với $b>0$, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$, còn giá trị âm là $-\sqrt[n]{b}$. 

1.3. Một số tính chất của căn bậc $n$

Với $a,b\in \mathbb{R};n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, ta có:

• $\sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=\,a,\forall a$      
• $\sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a,\forall a$
• $\sqrt[2n]{ab}=\sqrt[2n]{a}\cdot \sqrt[2n]{b},\forall ab\ge 0$
•  _{$\sqrt[2n+1]{ab}=\sqrt[2n+1]{a}\cdot \sqrt[2n+1]{b},\forall a,b$}
• $\sqrt[2n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[2n]{a}}{\sqrt[2n]{b}},\forall ab\ge 0,b\ne 0$
• $\sqrt[2n+1]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[2n+1]{a}}{\sqrt[2n+1]{b}},\forall a,\forall b\ne 0$
• $\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}},\forall a>0$, $n$ nguyên dương, $m$ nguyên
• $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a},\forall a\ge 0$, $n$,$m$nguyên dương
• Nếu $\frac{p}{n}=\frac{q}{m}$ thì $\sqrt[n]{{{a}^{p}}}=\sqrt[m]{{{a}^{q}}}\,,\forall a>0,m,n$nguyên dương $p,q$ nguyên

Đặc biệt: $\sqrt[n]{a}=\sqrt[m\cdot n]{{{a}^{m}}}$

1.4. Hàm số lũy thừa

1.4.1. Khái niệm

Xét hàm số $y={{x}^{\alpha }}$, với $\alpha $ là số thực cho trước.

Hàm số $y={{x}^{\alpha }}$, với $\alpha \in \mathbb{R}$, được gọi là hàm số lũy thừa.

Chú ý.

Tập xác định của hàm số lũy thừa $y={{x}^{\alpha }}$ tùy thuộc vào giá trị của $\alpha $. Cụ thể.

• Với $\alpha $ nguyên dương, tập xác định là $\mathbb{R}.$
• Với $\alpha $ nguyên âm hoặc bằng $0$, tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.$
• Với $\alpha $ không nguyên, tập xác định $\left( 0;+\infty  \right).$

1.4.2. Khảo sát hàm số lũy thừa $y={{x}^{\alpha }}$

Tập xác định của hàm số lũy thừa $y={{x}^{\alpha }}$ luôn chứa khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$ với mọi $\alpha \in \mathbb{R}.$ Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số $y={{x}^{\alpha }}$ trên khoảng này.

Đồ thị của hàm số lũy thừa $y = {x^\alpha }$ luôn đi qua điểm $I\left( {1;1} \right).$

1.5. Khảo sát hàm số mũ $y = {a^x},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\left( {a > 0,a \ne 1} \right)}
\end{array}$.