1. Kiến thức cần nhớ
a) Véc tơ trong không gian.
Cho các véc tơ tùy ý (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) và (k,l in R).
b) Tích vô hướng của một véc tơ với một số thực
Cho véc tơ (overrightarrow a ) và một số thực (k), tích vô hướng của (k) và (overrightarrow a ) kí hiệu là (k.overrightarrow a ).
Tính chất:
+) Cùng hướng với (overrightarrow a ) nếu (k > 0).
+) Ngược hướng với (overrightarrow a ) nếu (k < 0).
+) (left| {k.overrightarrow a } right| = left| k right|.left| {overrightarrow a } right|)
c) Tích vô hướng của hai véc tơ
+) Định nghĩa: (overrightarrow a .overrightarrow b = left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|.cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right)).
+) Hệ quả: (overrightarrow a bot overrightarrow b Leftrightarrow overrightarrow a .overrightarrow b = 0).
+) (cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = dfrac{{overrightarrow a .overrightarrow b }}{{left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|}})
+) ({overrightarrow a ^2} = overrightarrow a .overrightarrow a = {left| {overrightarrow a } right|^2}).
+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ). Gọi (overrightarrow {a’} ) là hình chiếu vuông góc của (overrightarrow a ) trên đường thẳng chứa (overrightarrow b ) thì: (overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow {a’} .overrightarrow b ).
+) Điểm (M) chia đoạn thẳng (AB) theo tỉ số (kleft( {k ne 1} right)), với điểm (O) tùy ý ta có:
d) Véc tơ đồng phẳng
Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Định lý:
a) Cho (overrightarrow a ,overrightarrow b ) không cùng phương, ba véc tơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) đồng phẳng ( Leftrightarrow exists m,n in R:overrightarrow c = m.overrightarrow a + n.overrightarrow b ) (với (m,n) xác định duy nhất.
b) Nếu ba véc tơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) không đồng phẳng thì mọi véc tơ (overrightarrow x ) đều được biểu diễn dưới dạng (overrightarrow x = m.overrightarrow a + n.overrightarrow b + p.overrightarrow c ) với (m,n,p) xác định duy nhất.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng, bốn điểm đồng phẳng.
Phương pháp:
Ta có thể sử dụng một trong số các cách sau đây:
Cách 1: Chứng minh các giá của ba véc tơ cùng song song với một mặt phẳng.
Cách 2: Dựa vào điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng: Nếu có (m,n in R:overrightarrow c = m.overrightarrow a + n.overrightarrow b ) thì (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) đồng phẳng.
Dạng 2: Phân tích một véc tơ qua ba véc tơ không đồng phẳng.
Phương pháp:
Để phân tích một véc tơ (overrightarrow x ) theo ba véc tơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) không đồng phẳng, ta tìm các số (m,n,p) sao cho: (overrightarrow x = m.overrightarrow a + n.overrightarrow b + p.overrightarrow c ).
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, véc tơ.
Phương pháp:
– Bước 1: Chọn ba véc tơ không đồng phẳng (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) sao cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.
– Bước 2: Phân tích (overrightarrow {MN} = moverrightarrow a + noverrightarrow b + poverrightarrow c ).
– Bước 3: Tính độ dài (MN) dựa vào công thức (M{N^2} = {left| {overrightarrow {MN} } right|^2} = {overrightarrow {MN} ^2} = {left( {moverrightarrow a + noverrightarrow b + poverrightarrow c } right)^2})
Dạng 4: Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Phương pháp:
Sử dụng các kết quả:
+) (A,B,C,D) là bốn điểm đồng phẳng ( Leftrightarrow overrightarrow {DA} = m.overrightarrow {DB} + n.overrightarrow {DC} )
+) (A,B,C,D) là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm (O) bất kì ta có:
