1. Kiến thức cần nhớ
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = fleft( x right)), trục (Ox) và hai đường thẳng (x = a,x = bleft( {a < b} right)):
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = fleft( x right),y = gleft( x right)) và hai đường thẳng (x = a,x = bleft( {a < b} right)):
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = fleft( x right)), trục (Ox) và hai đường thẳng (x = a,x = bleft( {a < b} right)) được tính bởi công thức:
– Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = fleft( x right),y = gleft( x right)) và hai đường thẳng (x = a,x = bleft( {a < b} right))được tính bởi công thức:
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn
Phương pháp:
– Bước 1: Giải phương trình (fleft( x right) = gleft( x right)) tìm nghiệm.
– Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức (left| {fleft( x right) – gleft( x right)} right|)
– Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.
A. $3ln 6$
B. (3ln dfrac{3}{2})
C. (3ln dfrac{3}{2} – 2)
D.(3ln dfrac{3}{2} – 1)
Giải:
Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $left( {-1;0} right)$, cắt $Oy$ tại $left( {0; – dfrac{1}{2}} right)$.
Hàm số $y = dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}$ có (y’ = dfrac{{ – 3}}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} < 0,forall x in left( { – 1;0} right)) nên hàm số $y = dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}$ nghịch biến trên $left( {-1;0} right)$.
Do đó (y < 0,forall x in left( { – 1;0} right))
Do đó $S = intlimits_{ – 1}^0 {left| {dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}} right|} dx = intlimits_{ – 1}^0 {left( { – dfrac{{x + 1}}{{x – 2}}} right)} dx = – intlimits_{ – 1}^0 {left( {1 + dfrac{3}{{x – 2}}} right)} dx $
$= – left( {x + 3ln left| {x – 2} right|mathop |nolimits_{ – 1}^0 } right) = – 3ln 2 – 1 + 3ln 3 = 3ln dfrac{3}{2} – 1$
Chọn D.
