Dưới đây là một số dạng toán thường gặp đối với lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ (nếu có thể)
– Bước 2: Biến đổi các lũy thừa, căn bậc (n) sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ.
– Bước 3: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:
+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc (n)) ( to ) nhân, chia ( to ) cộng, trừ.
+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc ( to ) lũy thừa (căn bậc (n)) ( to ) nhân, chia ( to ) cộng, trừ.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: $P = {x^{frac{1}{3}}}.sqrt[6]{x}$
Ta có: $P = {x^{frac{1}{3}}}.sqrt[6]{x} = {x^{frac{1}{3}}}.{x^{frac{1}{6}}} = {x^{frac{1}{3} + frac{1}{6}}} = {x^{frac{1}{2}}}.$
Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể)
– Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, căn bậc (n).
– Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa:
1/ Với (a > 1) thì ({a^m} > {a^n} Leftrightarrow m > n)
2/ Với (0 < a < 1) thì ({a^m} > {a^n} Leftrightarrow m < n)
3/ Với (0 < a < b) thì:
a) ({a^m} < {b^m} Leftrightarrow m > 0)
b) ({a^m} > {b^m} Leftrightarrow m < 0)
4/ Với (a > 0,b > 0) thì ({a^n} = {b^n} Leftrightarrow a = b).
Ở đó (m,n) là các số hữu tỉ.
5/ Với (a < b,n) là số tự nhiên lẻ thì ({a^n} < {b^n})
Ví dụ 2: Cho (a > 1), so sánh (sqrt[{15}]{{{a^7}}}) với (sqrt[5]{{{a^2}}})
Ta có: (sqrt[{15}]{{{a^7}}} = {a^{frac{7}{{15}}}};sqrt[5]{{{a^2}}} = {a^{frac{2}{5}}})
Vì (dfrac{7}{{15}} > dfrac{2}{5}) và (a > 1) nên ({a^{frac{7}{{15}}}} > {a^{frac{2}{5}}}) hay (sqrt[{15}]{{{a^7}}} > sqrt[5]{{{a^2}}})
