Phương pháp giải các bài toán liên quan đến lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Phương pháp:

– Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ $nếucóthể$

– Bước 2: Biến đổi các lũy thừa, căn bậc $n$ sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ.

– Bước 3: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa $cănbậc(n$) $to$ nhân, chia $to$ cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc $to$ lũy thừa $cănbậc(n$) $to$ nhân, chia $to$ cộng, trừ.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: $P = {x^{frac{1}{3}}}.sqrt$$6$${x}$

Ta có: $P = {x^{frac{1}{3}}}.sqrt$$6$${x} = {x^{frac{1}{3}}}.{x^{frac{1}{6}}} = {x^{frac{1}{3} + frac{1}{6}}} = {x^{frac{1}{2}}}.$

Phương pháp:

– Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ$nếucóthể$

– Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, căn bậc $n$.

– Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa:

1/ Với $a>1$ thì $a^m>a^{n}Leftrightarrowm>n$

2/ Với $0<a<1$ thì $a^m>a^{n}Leftrightarrowm<n$

3/ Với $0<a<b$ thì:

    a) $a^m<b^{m}Leftrightarrowm>0$

    b) $a^m>b^{m}Leftrightarrowm<0$

4/ Với $a>0,b>0$ thì $a^n=b^{n}Leftrightarrowa=b$.

Ở đó $m,n$ là các số hữu tỉ.

5/ Với $a<b,n$ là số tự nhiên lẻ thì $a^n<b^n$

Ví dụ 2: Cho $a>1$, so sánh $sqrt[15]a^7$ với $sqrt[5]a^2$

Ta có: $sqrt[15]a^7=a^{frac715};sqrt[5]a^2=a^{frac25}$

Vì $dfrac715>dfrac25$ và $a>1$ nên $a^{frac715}>a^{frac25}$ hay $sqrt[15]a^7>sqrt[5]a^2$