1. Các định nghĩa
+ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu $A,$ điểm cuối $B$ là (overrightarrow {AB} ).
+ Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
+ Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu (left| {overrightarrow {AB} } right|).
+ Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu (vec 0).
+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
+ Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
+ Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý:
+) Ta còn sử dụng kí hiệu (vec a,,,vec b,,…) để biểu diễn vectơ.
+) Qui ước: Vectơ (vec 0) cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
+) Mọi vectơ (vec 0) đều bằng nhau.
2. Tổng, hiệu hai véc tơ
a. Tổng của hai vectơ
+) Qui tắc ba điểm: Với ba điểm $A,B,C$ tuỳ ý, ta có: (overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} ).
+) Qui tắc hình bình hành: Với $ABCD$ là hình bình hành, ta có: (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} ).
+) Tính chất: (vec a + vec b = vec b + vec a);(left( {vec a + vec b} right) + vec c = vec a + left( {vec b + vec c} right));(vec a + vec 0 = vec a)
b. Hiệu của hai vectơ
+) Vectơ đối của (vec a) là vectơ (vec b) sao cho (vec a + vec b = vec 0). Kí hiệu vectơ đối của (vec a) là ( – vec a).
+) Vectơ đối của (vec 0) là (vec 0).
+) (vec a – vec b = vec a + left( { – vec b} right)).
3. Tích của một véc tơ với một số
*) Cho vectơ (vec a) và số $k in R.$ (kvec a) là một vectơ được xác định như sau:
+ (kvec a) cùng hướng với (vec a) nếu $k ge 0,$ (kvec a) ngược hướng với (vec a) nếu $k < 0.$
+ (left| {kvec a} right| = left| k right|.left| {vec a} right|)
*) Tính chất
(kleft( {vec a + vec b} right) = kvec a + kvec b);
((k + l)vec a = kvec a + lvec a);
(kleft( {lvec a} right) = (kl)vec a)
(kvec a = vec 0) $ Leftrightarrow k = 0$ hoặc (vec a = vec 0).
*) Điều kiện để hai vectơ cùng phương
(vec a) và (vec bleft( { ne vec 0} right)) cùng phương ( Leftrightarrow exists k in mathbb{R}:vec b = kvec a)
*) Điều kiện ba điểm thẳng hàng
$A,B,C$ thẳng hàng ( Leftrightarrow k ne 0:overrightarrow {AB} = koverrightarrow {AC} ).
*) Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ không cùng phương (vec a,,vec b) và (vec x) tuỳ ý. Khi đó (exists !m,n in mathbb{R}:vec x = mvec a + nvec b)
Chú ý:
+) Hệ thức trung điểm đoạn thẳng
$M$ là trung điểm của đoạn thẳng (AB) ( Leftrightarrow overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} = vec 0) ( Leftrightarrow overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} = 2overrightarrow {OM} ) ($O$ tuỳ ý).
+) Hệ thức trọng tâm tam giác
$G$ là trọng tâm $ Delta ABC$ $Leftrightarrow$ (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = vec 0) (Leftrightarrow overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} = 3overrightarrow {OG} ) ($O$ tuỳ ý).
4. Hệ trục tọa độ
a. Tọa độ điểm
Trong hệ trục tọa độ (left( {O;overrightarrow i ,overrightarrow j } right)), tọa độ của vectơ (overrightarrow {OM} ) gọi là tọa độ của điểm $M,$ kí hiệu là (M = left( {x;y} right)) hay (Mleft( {x;y} right)). $x$ được gọi là hoành độ, $y$ được gọi là tung độ của điểm $M.$
Tọa độ trung điểm, trọng tâm tam giác
+ Cho (A({x_A};{y_A}),{rm{ }}B({x_B};{y_B})) và $M$ là trung điểm $AB.$ Tọa độ trung điểm (Mleft( {{x_M};{y_M}} right)) của đoạn thẳng AB là ${x_M} = dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2},,,{y_M} = dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$
+ Cho tam giác (ABC) có (A({x_A};{y_A}),{rm{ }}B({x_B};{y_B}),,,Cleft( {{x_C};{y_C}} right)). Tọa độ trọng tâm (Gleft( {{x_G};{y_G}} right)) của tam giác (ABC) là ${x_G} = dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}$ và ${y_G} = dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}$
b. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.
Cho $overrightarrow u = (x;y)$ ;$overrightarrow {u’} = (x’;y’)$ và số thực $k.$ Khi đó ta có :
1) (overrightarrow u = overrightarrow {u’} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = x’\y = y’end{array} right.)
2) $overrightarrow u pm overrightarrow v = (x pm x’;y pm y’)$
3) $k.overrightarrow u = (kx;ky)$
4) $overrightarrow {u’} $ cùng phương $overrightarrow u $($overrightarrow u ne overrightarrow 0 $) khi và chỉ khi có số $k$ sao cho (left{ begin{array}{l}x’ = kx\y’ = kyend{array} right.)
5) Cho (A({x_A};{y_A}),{rm{ }}B({x_B};{y_B})) thì (overrightarrow {AB} = left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}} right))
