1. Nguyên hàm
a) Khái niệm
Nếu $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của $fleft( x right)$ trên $K$ thì họ nguyên hàm của $fleft( x right)$ trên $K$ là: (int {f(x)} dx = F(x) + C,C in R.)
b) Tính chất
+)(int {f'(x)} dx = f(x) + C)
+)(int {left[ {f(x) pm g(x)} right]} dx = int {f(x)} dx pm int {g(x)} dx)
+)(int {kf(x)} dx = kint {f(x)} dx , (k ne 0))
c) Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
d) Các phương pháp tìm nguyên hàm
– Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
– Sử dụng phương pháp đổi biến số và từng phần để tìm nguyên hàm.
2. Tích phân
a) Định nghĩa
Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên khoảng $I$ và $a,b$ là hai số bất kì thuộc $I.$ Nếu $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của $fleft( x right)$ thì hiệu số $Fleft( b right) – Fleft( a right)$ được gọi là tích phân của $fleft( x right)$ từ $a$ đến $b$ và kí hiệu là $intlimits_a^b {f(x)dx}.$
Ta có công thức Newton – Leibnitz:
b) Tính chất
+) $intlimits_a^a {f(x)dx} = 0$
+) $intlimits_a^b {f(x)dx} = – intlimits_b^a {f(x)dx} $
+) $intlimits_a^c {f(x)dx} = intlimits_a^b {f(x)dx} + intlimits_b^c {f(x)dx} $
+) $intlimits_a^b {kf(x)dx} = kintlimits_a^b {f(x)dx} ,k in R$
+)$intlimits_a^b {[f(x) pm g(x)]dx} = intlimits_a^b {f(x)dx} pm intlimits_a^b {g(x)dx} $
c) Phương pháp tính tích phân
Sử dụng công thức Newton – Leibnitz kết hợp với bảng nguyên hàm cơ bản ở trên và các phương pháp đổi biến số, từng phần để tính tích phân.
Ngoài ra còn có phương pháp sử dụng máy tính Casio sẽ được giới thiệu ở phần sau.
3. Ứng dụng của tích phân
a) Tính diện tích hình phẳng
+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = fleft( x right)$ ($fleft( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ {a;b} right]$), trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ được cho bởi công thức: $S = intlimits_a^b {left| {f(x)} right|dx} $
+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng $x = a,x = b$ và đồ thị của hai hàm số $y = {f_1}left( x right)$ và $y = {f_2}left( x right)$ (${f_1}left( x right)$ và ${f_2}left( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ {a;b} right]$) được cho bởi công thức $S = intlimits_a^b {left| {{f_1}(x) – {f_2}(x)} right|dx} $
b) Diện tích hình tròn và hình elip
+) Hình tròn bán kính $R$ có diện tích $S = pi {R^2}$
+) Hình elíp (left( E right):dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1) có diện tích $S = pi ab$
c) Tính thể tích vật thể, khối tròn xoay
+) Thể tích vật thể (T) có thiết diện (Sleft( x right)) được cho bởi công thức: (V = intlimits_a^b {S(x)dx} )
+) Cho hàm số $y = fleft( x right)$ liên tục và không âm trên đoạn $left[ {a;b} right].$ Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi miền $left( D right)$ giới hạn bởi $y = fleft( x right),;x = a,x = b,y = 0$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức: (V = pi intlimits_a^b {{y^2}dx} = pi intlimits_a^b {{f^2}(x)dx} )
+) Cho hàm số $x = fleft( y right)$ liên tục và không âm trên đoạn $left[ {a;b} right].$ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $left( D right)$ giới hạn bởi $x = fleft( y right),;y = a,y = b,x = 0$ quay quanh trục $Oy$ được cho bởi công thức: (V = pi intlimits_a^b {{x^2}dy} = pi intlimits_a^b {{f^2}(y)dy} )
d) Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối cầu
+) Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao $h$ được cho bởi $V = dfrac{1}{3}Bh.$
+) Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích hai đáy là B1, B2 và chiều cao h được cho bởi:
(V = dfrac{1}{3}left( {{B_1} + {B_2} + sqrt {{B_1}{B_2}} } right)h)
+) Thể tích của khối cầu có bán kính $R$ được cho bởi: (V = dfrac{4}{3}pi {R^3})
