Dưới đây ta sẽ trình bày một số phương pháp tìm giới hạn các dãy số thường gặp:
Dạng 1: Tính giới hạn dãy đa thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của (n) ra làm nhân tử chung.
– Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân các giới hạn để tính giới hạn.
Ví dụ: Tính giới hạn (lim left( {{n^3} – {n^2} + n – 1} right)).
Ta có: (lim left( {{n^3} – {n^2} + n – 1} right) = lim {n^3}left( {1 – dfrac{1}{n} + dfrac{1}{{{n^2}}} – dfrac{1}{{{n^3}}}} right) = + infty )
Dạng 1: Tính giới hạn dãy số hữu tỉ
Phương pháp:
– Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.
– Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn.
Ví dụ: Tính giới hạn (lim dfrac{{2n – 1}}{{n + 1}}).
Ta có: (lim dfrac{{2n – 1}}{{n + 1}} = lim dfrac{{2 – dfrac{1}{n}}}{{1 + dfrac{1}{n}}} = dfrac{2}{1} = 2)
Dạng 2: Giới hạn của dãy số chứa căn thức
Phương pháp:
– Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không.
+) Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1.
+) Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:
– Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng 1.
Ví dụ: Tính giới hạn (lim left( {sqrt {{n^2} + 2n} – n} right)).
Ta có:
$lim left( {sqrt {{n^2} + 2n} – n} right)=$ $ lim dfrac{{left( {sqrt {{n^2} + 2n} – n} right)left( {sqrt {{n^2} + 2n} + n} right)}}{{left( {sqrt {{n^2} + 2n} + n} right)}} $ $= lim dfrac{{{n^2} + 2n – {n^2}}}{{left( {sqrt {{n^2} + 2n} + n} right)}}$ $= lim dfrac{{2n}}{{sqrt {{n^2} + 2n} + n}}$ $= lim dfrac{2}{{sqrt {1 + dfrac{2}{n}} + 1}} = dfrac{2}{{1 + 1}} = 1$
Dạng 3: Dãy số chứa lũy thừa, mũ.
Phương pháp:
– Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với cơ số lớn nhất.
– Bước 2: Sử dụng nhận xét (lim {q^n} = 1) với (left| q right| < 1).
Ví dụ: (lim dfrac{{{2^n} + {5^n}}}{{{{2.3}^n} + {{3.5}^n}}} = lim dfrac{{{{left( {dfrac{2}{5}} right)}^n} + 1}}{{2.{{left( {dfrac{3}{5}} right)}^n} + 3.1}} = dfrac{{0 + 1}}{{2.0 + 3}} = dfrac{1}{3})
Dạng 4: Tính giới hạn bằng chứng minh hoặc dùng định nghĩa.
Phương pháp:
Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số (left( {{u_n}} right),left( {{v_n}} right),left( {{w_n}} right)).
Nếu ({u_n} < {v_n} < {w_n},forall n) và (lim {u_n} = lim {w_n} = L Rightarrow lim {v_n} = L).
Ví dụ: Tính (lim dfrac{{sin 3n}}{n}).
Ta có: ( – 1 le sin 3n le 1 Rightarrow dfrac{{ – 1}}{n} le dfrac{{sin 3n}}{n} le dfrac{1}{n})
Mà (lim left( { – dfrac{1}{n}} right) = 0;lim left( {dfrac{1}{n}} right) = 0) nên (lim dfrac{{sin 3n}}{n} = 0).
