1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa
Cho (a > 0,a in R,alpha ) là một số vô tỉ, khi đó ({a^alpha } = mathop {lim }limits_{n to + infty } {a^{{r_n}}}) với (left( {{r_n}} right)) là dãy số hữu tỉ thỏa mãn (mathop {lim }limits_{n to + infty } {r_n} = alpha ).
b) Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho (a,b > 0;x,y in R) ta có:
1/ ({a^x}.{a^y} = {a^{x + y}})
2/ ({a^x}:{a^y} = {a^{x – y}})
3/ ({left( {{a^x}} right)^y} = {a^{xy}})
4/ ({left( {ab} right)^x} = {a^x}{b^x})
5/ ({left( {dfrac{a}{b}} right)^x} = dfrac{{{a^x}}}{{{b^x}}})
6/ ({a^x} > 0,forall x in R)
7/ ({a^x} = {a^y} Leftrightarrow x = yleft( {a ne 1} right))
8/ Với (a > 1) thì ({a^x} > {a^y} Leftrightarrow x > y); với (0 < a < 1) thì ({a^x} > {a^y} Leftrightarrow x < y).
9/ Với (0 < a < b) và (m) nguyên dương thì ({a^m} < {b^m}); (m) nguyên âm thì ({a^m} > {b^m})
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính giá trị, rút gọn các biểu thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Biến đổi các lũy thừa sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
– Bước 2: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:
+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc (n)) ( to ) nhân, chia ( to ) cộng, trừ.
+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc ( to ) lũy thừa (căn bậc (n)) ( to ) nhân, chia ( to ) cộng, trừ.
Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể)
– Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, số mũ thực, căn bậc (n).
– Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa.
