1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định trên (left( {a;b} right)) và điểm ({x_0} in left( {a;b} right)).
Định nghĩa: Hàm số (y = fleft( x right)) được gọi là có đạo hàm tại (x = {x_0}), kí hiệu (f’left( {{x_0}} right)) nếu giới hạn
$mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{fleft( x right) – fleft( {{x_0}} right)}}{{x – {x_0}}} = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} dfrac{{Delta y}}{{Delta x}} = f’left( {{x_0}} right)$ tồn tại hữu hạn.
Ở đó, (Delta x = x – {x_0}) là số gia của biến số tại điểm ({x_0}).
(Delta y = fleft( x right) – fleft( {{x_0}} right) = fleft( {{x_0} + Delta x} right) – fleft( {{x_0}} right)) là số gia của hàm số.
Ví dụ: Tính số gia của hàm số (y = {x^2}) ứng với số gia (Delta x) của biến số tại điểm ({x_0} = – 2).
Ta có: (Delta y = fleft( {{x_0} + Delta x} right) – fleft( {{x_0}} right) = {left( {{x_0} + Delta x} right)^2} – x_0^2 = x_0^2 + 2{x_0}.Delta x + {left( {Delta x} right)^2} – x_0^2 = {left( {Delta x} right)^2} + 2{x_0}.Delta x)
Vậy tại ({x_0} = – 2) thì (Delta y = {left( {Delta x} right)^2} + 2{x_0}.Delta x = {left( {Delta x} right)^2} + 2left( { – 2} right).Delta x = {left( {Delta x} right)^2} – 4Delta x).
2. Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số (y = {x^2}) tại điểm ({x_0} = – 2).
– Bước 1: Ta có: (fleft( x right) – fleft( { – 2} right) = {x^2} – {left( { – 2} right)^2} = {x^2} – 4)
– Bước 2:
Tính (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{fleft( x right) – fleft( {{x_0}} right)}}{{x – {x_0}}} = mathop {lim }limits_{x to – 2} dfrac{{{x^2} – 4}}{{x – left( { – 2} right)}} = mathop {lim }limits_{x to – 2} dfrac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} = mathop {lim }limits_{x to – 2} left( {x – 2} right) = – 2 – 2 = – 4)
Vậy (f’left( { – 2} right) = – 4).
Ví dụ: Xét hàm số (y = left| x right|) liên tục tại ({x_0} = 0).
Tính: (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{fleft( x right) – fleft( {{x_0}} right)}}{{x – {x_0}}} = mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{left| x right| – 0}}{{x – 0}} ) (= mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{left| x right|}}{x})
Ta có: (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} dfrac{{left| x right|}}{x} = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} dfrac{x}{x} = 1;) (mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} dfrac{{left| x right|}}{x} = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} dfrac{x}{x} = – 1 ) (Rightarrow mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} dfrac{{left| x right|}}{x} ne mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} dfrac{{left| x right|}}{x})
Vậy không tồn tại (mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{left| x right|}}{x}).
Do đó không tồn tại đạo hàm của hàm số tại (x = 0).
